Theorem lelttrt 4289

Description: Transitive law.

Assertion

Ref	Expression
lelttrt	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B < C) -> A < C))

Proof of Theorem lelttrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloet 4284	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
2	1	3adant3 599	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
3		axlttrn 4084	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))
4	3	exp3a 292	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (B < C -> A < C)))
5		breq1 2065	. . . . . 6 |- (A = B -> (A < C <-> B < C))
6	5	biimprd 136	. . . . 5 |- (A = B -> (B < C -> A < C))
7	6	a1i 7	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A = B -> (B < C -> A < C)))
8	4, 7	jaod 329	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B \/ A = B) -> (B < C -> A < C)))
9	2, 8	sylbid 178	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <_ B -> (B < C -> A < C)))
10	9	imp3a 279	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B < C) -> A < C))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  RRcr 4027   < clt 4033   <_ cle 4092

This theorem is referenced by:  letrt 4291  lelttr 4308  elnnz1 4581  zltp1let 4597  flgzt 4626  sqrlem12 4742  occllem6 5185  projlem25 5217  projlem26 5218  osumlem4 5533  stadd 5687  stadd3 5689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-enr 3960  df-nr 3961  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-r 4038  df-lt 4041  df-le 4277

metamath.org