Theorem limenpsi 3400

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself.

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	|- (A e. B -> A ~~ (A \ {(/)}))

Proof of Theorem limenpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 3359	. 2 |- ((A ~<_ (A \ {(/)}) /\ (A \ {(/)}) ~<_ A) -> A ~~ (A \ {(/)}))
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 |- Lim A
3		limsuc 2361	. . . . . . 7 |- (Lim A -> (x e. A <-> suc x e. A))
4	2, 3	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (x e. A <-> suc x e. A)
5	4	biimp 133	. . . . 5 |- (x e. A -> suc x e. A)
6		nsuceq0 2306	. . . . . 6 |- -. suc x = (/)
7		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
8	7	sucex 2303	. . . . . . 7 |- suc x e. V
9	8	elsnc 1826	. . . . . 6 |- (suc x e. {(/)} <-> suc x = (/))
10	6, 9	mtbir 167	. . . . 5 |- -. suc x e. {(/)}
11	5, 10	jctir 241	. . . 4 |- (x e. A -> (suc x e. A /\ -. suc x e. {(/)}))
12		eldif 1496	. . . 4 |- (suc x e. (A \ {(/)}) <-> (suc x e. A /\ -. suc x e. {(/)}))
13	11, 12	sylibr 175	. . 3 |- (x e. A -> suc x e. (A \ {(/)}))
14		suc11 2341	. . . 4 |- ((x e. On /\ y e. On) -> (suc x = suc y <-> x = y))
15		limord 2283	. . . . . 6 |- (Lim A -> Ord A)
16	2, 15	ax-mp 6	. . . . 5 |- Ord A
17		ordelon 2222	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> x e. On)
18	16, 17	mpan 518	. . . 4 |- (x e. A -> x e. On)
19		ordelon 2222	. . . . 5 |- ((Ord A /\ y e. A) -> y e. On)
20	16, 19	mpan 518	. . . 4 |- (y e. A -> y e. On)
21	14, 18, 20	syl2an 349	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (suc x = suc y <-> x = y))
22	13, 21	dom2 3308	. 2 |- (A e. B -> A ~<_ (A \ {(/)}))
23		difss 1596	. . 3 |- (A \ {(/)}) (_ A
24		ssdom2g 3312	. . 3 |- (A e. B -> ((A \ {(/)}) (_ A -> (A \ {(/)}) ~<_ A))
25	23, 24	mpi 44	. 2 |- (A e. B -> (A \ {(/)}) ~<_ A)
26	1, 22, 25	sylanc 361	1 |- (A e. B -> A ~~ (A \ {(/)}))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092   \ cdif 1484   (_ wss 1487  (/)c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  suc csuc 2201   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  limensuci 3401  omenps 3482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org