Theorem limom 2387

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 2382	. 2 |- Ord om
2		ordeleqon 2241	. . 3 |- (Ord om <-> (om e. On \/ om = On))
3		ordeirr 2217	. . . . . 6 |- (Ord om -> -. om e. om)
4	1, 3	ax-mp 6	. . . . 5 |- -. om e. om
5		elomg 2376	. . . . . 6 |- (om e. On -> (om e. om <-> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x))))
6		ordtri1 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om <-> -. om e. x))
7	6	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x (_ om <-> -. om e. x))
8		ordsseleq 2227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om <-> (x e. om \/ x = om)))
9	8	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om -> (x e. om \/ x = om)))
10		nnlim 2385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. om -> -. Lim x)
11	10	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x e. om -> -. Lim x))
12		limeq 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
13	12	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = om -> (Lim x -> Lim om))
14	13	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = om -> (-. Lim om -> -. Lim x))
15	14	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x = om -> -. Lim x))
16	11, 15	jaod 329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. Lim om -> ((x e. om \/ x = om) -> -. Lim x))
17	9, 16	sylan9 359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x (_ om -> -. Lim x))
18	7, 17	sylbird 180	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (-. om e. x -> -. Lim x))
19	18	a3d 70	. . . . . . . . . . . 12 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
20	1, 19	mpan12 530	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
21		limord 2283	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim x -> Ord x)
22	20, 21	sylan 343	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
23	22	exp 291	. . . . . . . . 9 |- (Lim x -> (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x)))
24	23	pm2.43b 61	. . . . . . . 8 |- (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x))
25	24	19.21aiv 943	. . . . . . 7 |- (-. Lim om -> A.x(Lim x -> om e. x))
26	25, 1	jctil 240	. . . . . 6 |- (-. Lim om -> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x)))
27	5, 26	syl5bir 184	. . . . 5 |- (om e. On -> (-. Lim om -> om e. om))
28	4, 27	mt3i 100	. . . 4 |- (om e. On -> Lim om)
29		limon 2342	. . . . 5 |- Lim On
30		limeq 2211	. . . . 5 |- (om = On -> (Lim om <-> Lim On))
31	29, 30	mpbiri 169	. . . 4 |- (om = On -> Lim om)
32	28, 31	jaoi 275	. . 3 |- ((om e. On \/ om = On) -> Lim om)
33	2, 32	sylbi 174	. 2 |- (Ord om -> Lim om)
34	1, 33	ax-mp 6	1 |- Lim om

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196  A.wal 672   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  omcom 2372

This theorem is referenced by:  peano2b 2388  peano1 2390  ssnlim 2407  inf5 3472  elom3 3478  omenps 3482  omensuc 3483  cardlim 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373

metamath.org