Theorem limsuclem 2360

Description: Lemma for limsuc 2361.

Hypotheses

Ref	Expression
on.1	|- A e. On
on.2	|- B e. On

Assertion

Ref	Expression
limsuclem	|- ((Lim A /\ B e. A) -> suc B e. A)

Proof of Theorem limsuclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.2	. . . . . . . 8 |- B e. On
2		on.1	. . . . . . . 8 |- A e. On
3	1, 2	onsucss 2359	. . . . . . 7 |- (B e. A <-> suc B (_ A)
4	1	onsuc 2353	. . . . . . . 8 |- suc B e. On
5	4, 2	onssel 2357	. . . . . . 7 |- (suc B (_ A <-> (suc B e. A \/ suc B = A))
6		df-or 197	. . . . . . 7 |- ((suc B e. A \/ suc B = A) <-> (-. suc B e. A -> suc B = A))
7	3, 5, 6	3bitr 155	. . . . . 6 |- (B e. A <-> (-. suc B e. A -> suc B = A))
8	7	biimp 133	. . . . 5 |- (B e. A -> (-. suc B e. A -> suc B = A))
9		limuni 2284	. . . . . . . 8 |- (Lim A -> A = U.A)
10		unieq 1927	. . . . . . . . 9 |- (suc B = A -> U.suc B = U.A)
11	1	onunisuc 2354	. . . . . . . . 9 |- U.suc B = B
12	10, 11	syl5reqr 1139	. . . . . . . 8 |- (suc B = A -> U.A = B)
13	9, 12	sylan9eqr 1145	. . . . . . 7 |- ((suc B = A /\ Lim A) -> A = B)
14		eqimss 1548	. . . . . . 7 |- (A = B -> A (_ B)
15	2	onssneli 2349	. . . . . . 7 |- (A (_ B -> -. B e. A)
16	13, 14, 15	3syl 21	. . . . . 6 |- ((suc B = A /\ Lim A) -> -. B e. A)
17	16	exp 291	. . . . 5 |- (suc B = A -> (Lim A -> -. B e. A))
18	8, 17	syl6 23	. . . 4 |- (B e. A -> (-. suc B e. A -> (Lim A -> -. B e. A)))
19	18	com3r 35	. . 3 |- (Lim A -> (B e. A -> (-. suc B e. A -> -. B e. A)))
20		ax-3 5	. . 3 |- ((-. suc B e. A -> -. B e. A) -> (B e. A -> suc B e. A))
21	19, 20	syli 52	. 2 |- (Lim A -> (B e. A -> suc B e. A))
22	21	imp 277	1 |- ((Lim A /\ B e. A) -> suc B e. A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  U.cuni 1919  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  limsuc 2361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205

metamath.org