Theorem ltexprlem1 3936

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem1	|- (B e. P. -> (A (. B -> -. C = (/)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
2	1	prnmadd 3894	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ y e. B) -> E.x(y +Q x) e. B)
3	2	anim2i 270	. . . . . . . 8 |- ((-. y e. A /\ (B e. P. /\ y e. B)) -> (-. y e. A /\ E.x(y +Q x) e. B))
4		19.42v 966	. . . . . . . 8 |- (E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> (-. y e. A /\ E.x(y +Q x) e. B))
5	3, 4	sylibr 175	. . . . . . 7 |- ((-. y e. A /\ (B e. P. /\ y e. B)) -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
6	5	exp32 294	. . . . . 6 |- (-. y e. A -> (B e. P. -> (y e. B -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))))
7	6	com3l 34	. . . . 5 |- (B e. P. -> (y e. B -> (-. y e. A -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))))
8	7	imp3a 279	. . . 4 |- (B e. P. -> ((y e. B /\ -. y e. A) -> E.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
9	8	19.22dv 947	. . 3 |- (B e. P. -> (E.y(y e. B /\ -. y e. A) -> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
10		pssnel 1752	. . 3 |- (A (. B -> E.y(y e. B /\ -. y e. A))
11	9, 10	syl5 22	. 2 |- (B e. P. -> (A (. B -> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)))
12		ltexprlem.1	. . . . 5 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
13	12	cleqabi 1176	. . . 4 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
14	13	biex 733	. . 3 |- (E.x x e. C <-> E.xE.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
15		n0 1714	. . 3 |- (-. C = (/) <-> E.x x e. C)
16		excom 728	. . 3 |- (E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) <-> E.xE.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
17	14, 15, 16	3bitr4 158	. 2 |- (-. C = (/) <-> E.yE.x(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
18	11, 17	syl6ibr 186	1 |- (B e. P. -> (A (. B -> -. C = (/)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092   (. wpss 1488  (/)c0 1707  (class class class)co 3001   +Q cplq 3775  P.cnp 3779

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 3940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

metamath.org