Theorem ltexprlem6 3941

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem6	|- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. C) (_ B)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 3882	. . . . . 6 |- +P. = {<.<.z, v>., u>. | ((z e. P. /\ v e. P.) /\ u = {f | E.g e. z E.h e. v f = (g +Q h)})}
2		visset 1350	. . . . . 6 |- z e. V
3	1, 2	genpelv 3897	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ C e. P.) -> (z e. (A +P. C) <-> E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x))))
4		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = {x | E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B)}
5	4	ltexprlem5 3940	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ A (. B) -> C e. P.)
6	3, 5	sylan2 346	. . . 4 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (z e. (A +P. C) <-> E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x))))
7		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 |- (z = (w +Q x) -> (z e. B <-> (w +Q x) e. B))
8	7	biimparc 327	. . . . . . . . 9 |- (((w +Q x) e. B /\ z = (w +Q x)) -> z e. B)
9		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ y e. Q.) -> (-. y e. A -> w <Q y))
10		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (y +Q x) e. Q.)
11		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. V
12		dmaddpq 3853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
13		0npq 3844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -. (/) e. Q.
14	11, 12, 13	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y +Q x) e. Q. -> (y e. Q. /\ x e. Q.))
15	14	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y +Q x) e. Q. -> y e. Q.)
16	10, 15	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> y e. Q.)
17	9, 16	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ (B e. P. /\ (y +Q x) e. B)) -> (-. y e. A -> w <Q y))
18	14	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y +Q x) e. Q. -> x e. Q.)
19		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- w e. V
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- y e. V
21		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- v e. V
22	2, 21	ltapq 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (u e. Q. -> (z <Q v <-> (u +Q z) <Q (u +Q v)))
23	2, 21	addcompq 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z +Q v) = (v +Q z)
24	19, 20, 22, 11, 23	caoprord2 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x e. Q. -> (w <Q y <-> (w +Q x) <Q (y +Q x)))
25	10, 18, 24	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (w <Q y <-> (w +Q x) <Q (y +Q x)))
26		prcdpq 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> ((w +Q x) <Q (y +Q x) -> (w +Q x) e. B))
27	25, 26	sylbid 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. P. /\ (y +Q x) e. B) -> (w <Q y -> (w +Q x) e. B))
28	27	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ (B e. P. /\ (y +Q x) e. B)) -> (w <Q y -> (w +Q x) e. B))
29	17, 28	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ (B e. P. /\ (y +Q x) e. B)) -> (-. y e. A -> (w +Q x) e. B))
30	29	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. P. /\ w e. A) -> (B e. P. -> ((y +Q x) e. B -> (-. y e. A -> (w +Q x) e. B))))
31	30	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ w e. A) -> (B e. P. -> (-. y e. A -> ((y +Q x) e. B -> (w +Q x) e. B))))
32	31	imp4b 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ B e. P.) -> ((-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> (w +Q x) e. B))
33	32	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ B e. P.) -> (E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B) -> (w +Q x) e. B))
34	4	cleqabi 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. C <-> E.y(-. y e. A /\ (y +Q x) e. B))
35	33, 34	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. P. /\ w e. A) /\ B e. P.) -> (x e. C -> (w +Q x) e. B))
36	35	exp31 293	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. P. -> (w e. A -> (B e. P. -> (x e. C -> (w +Q x) e. B))))
37	36	com23 32	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (w e. A -> (x e. C -> (w +Q x) e. B))))
38	37	imp43 288	. . . . . . . . 9 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (w e. A /\ x e. C)) -> (w +Q x) e. B)
39	8, 38	sylan 343	. . . . . . . 8 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (w e. A /\ x e. C)) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B)
40	39	exp31 293	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((w e. A /\ x e. C) -> (z = (w +Q x) -> z e. B)))
41	40	imp3a 279	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B))
42	41	19.23advv 955	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B))
43	42	adantrr 312	. . . 4 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (E.wE.x((w e. A /\ x e. C) /\ z = (w +Q x)) -> z e. B))
44	6, 43	sylbid 178	. . 3 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (z e. (A +P. C) -> z e. B))
45	44	ssrdv 1509	. 2 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ A (. B)) -> (A +P. C) (_ B)
46	45	anassrs 338	1 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B) -> (A +P. C) (_ B)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487   (. wpss 1488   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Q.cnq 3773   +Q cplq 3775   <Q cltq 3778  P.cnp 3779   +P. cpp 3781

This theorem is referenced by:  ltexpri 3943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882

metamath.org