Theorem ltpiord 3809

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership.

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . 3 |- (x = A -> (x <N y <-> A <N y))
2		eleq1 1149	. . 3 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
3	1, 2	bibi12d 477	. 2 |- (x = A -> ((x <N y <-> x e. y) <-> (A <N y <-> A e. y)))
4		breq2 2066	. . 3 |- (y = B -> (A <N y <-> A <N B))
5		eleq2 1150	. . 3 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
6	4, 5	bibi12d 477	. 2 |- (y = B -> ((A <N y <-> A e. y) <-> (A <N B <-> A e. B)))
7		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
8	7	opelxp 2452	. . 3 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) <-> (x e. N. /\ y e. N.))
9		iba 486	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (<.x, y>. e. E <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.))))
10		df-br 2063	. . . . . 6 |- (xEy <-> <.x, y>. e. E)
11		epel 2124	. . . . . 6 |- (xEy <-> x e. y)
12	10, 11	bitr3 153	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. E <-> x e. y)
13	9, 12	syl5bbr 412	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (x e. y <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.))))
14		df-br 2063	. . . . 5 |- (x <N y <-> <.x, y>. e. <N )
15		df-lti 3797	. . . . . 6 |- <N = (E i^i (N. X. N.))
16	15	eleq2i 1153	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. <N <-> <.x, y>. e. (E i^i (N. X. N.)))
17		elin 1635	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (E i^i (N. X. N.)) <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.)))
18	14, 16, 17	3bitr 155	. . . 4 |- (x <N y <-> (<.x, y>. e. E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.)))
19	13, 18	syl6rbbr 417	. . 3 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (x <N y <-> x e. y))
20	8, 19	sylbir 176	. 2 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> (x <N y <-> x e. y))
21	3, 6, 20	vtocl2ga 1388	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092   i^i cin 1486  <.cop 1810   class class class wbr 2054  Ecep 2056   X. cxp 2408  N.cnpi 3766   <N clti 3769

This theorem is referenced by:  ltsopi 3810  ltexpi 3823  ltapi 3824  ltmpi 3825  1lt2pi 3826  nlt1pi 3827  indpi 3828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-xp 2424  df-lti 3797

metamath.org