Theorem ltprord 3928

Description: Positive real 'less than' in terms of proper subset.

Assertion

Ref	Expression
ltprord	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> A (. B))

Proof of Theorem ltprord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. P. <-> A e. P.))
2	1	anbi1d 469	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. P. /\ y e. P.) <-> (A e. P. /\ y e. P.)))
3		psseq1 1559	. . . 4 |- (x = A -> (x (. y <-> A (. y))
4	2, 3	anbi12d 476	. . 3 |- (x = A -> (((x e. P. /\ y e. P.) /\ x (. y) <-> ((A e. P. /\ y e. P.) /\ A (. y)))
5		eleq1 1149	. . . . 5 |- (y = B -> (y e. P. <-> B e. P.))
6	5	anbi2d 468	. . . 4 |- (y = B -> ((A e. P. /\ y e. P.) <-> (A e. P. /\ B e. P.)))
7		psseq2 1560	. . . 4 |- (y = B -> (A (. y <-> A (. B))
8	6, 7	anbi12d 476	. . 3 |- (y = B -> (((A e. P. /\ y e. P.) /\ A (. y) <-> ((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B)))
9		df-ltp 3884	. . 3 |- <P = {<.x, y>. | ((x e. P. /\ y e. P.) /\ x (. y)}
10	4, 8, 9	brabg 2116	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> ((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B)))
11		ibar 487	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A (. B <-> ((A e. P. /\ B e. P.) /\ A (. B)))
12	10, 11	bitr4d 409	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> A (. B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   (. wpss 1488   class class class wbr 2054  P.cnp 3779   <P cltp 3783

This theorem is referenced by:  ltsopr 3930  ltaddpr 3934  ltexprlem7 3942  ltexpri 3943  suplem1pr 3955  suplem2pr 3956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-ltp 3884

metamath.org