Theorem ltrpq 3879

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltrpq.1	|- A e. V
ltrpq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltrpq	|- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Proof of Theorem ltrpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrpq.2	. . 3 |- B e. V
2		ltrelpq 3845	. . 3 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
3	1, 2	brel 2459	. 2 |- (A <Q B -> (A e. Q. /\ B e. Q.))
4		1q 3851	. . . . . . . . . . . 12 |- 1Q e. Q.
5	4	elisseti 1355	. . . . . . . . . . 11 |- 1Q e. V
6		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . 11 |- <Q Or Q.
7	5, 6, 2	soirri 2629	. . . . . . . . . 10 |- -. 1Q <Q 1Q
8		recidpq 3865	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) = 1Q)
9		recidpq 3865	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. Q. -> (B .Q (*Q` B)) = 1Q)
10	8, 9	breqan12rd 2075	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> 1Q <Q 1Q))
11	7, 10	mtbiri 539	. . . . . . . . 9 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
12	11	adantll 309	. . . . . . . 8 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
13		recclpq 3866	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)
14		ltrpq.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. V
15		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
16		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. V
17	15, 16	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. Q. -> (y <Q z <-> (x .Q y) <Q (x .Q z)))
18		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . 13 |- (*Q` A) e. V
19	15, 16	mulcompq 3858	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y .Q z) = (z .Q y)
20	14, 1, 17, 18, 19	caoprord2 3071	. . . . . . . . . . . 12 |- ((*Q` A) e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
21	13, 20	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
22	21	anbi1d 469	. . . . . . . . . 10 |- (A e. Q. -> ((A <Q B /\ B e. Q.) <-> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.)))
23	22	biimpac 326	. . . . . . . . 9 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.))
24		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
25	24	biimprcd 138	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
26		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 |- ((*Q` B) = (*Q` A) -> (B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)))
27	25, 26	syl5 22	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
28	27	adantr 306	. . . . . . . . . 10 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
29		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A .Q (*Q` A)) e. V
30		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B .Q (*Q` A)) e. V
31		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B .Q (*Q` B)) e. V
32	29, 6, 2, 30, 31	sotri 2630	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
33		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (*Q` B) e. V
34	18, 33	ltmpq 3871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. Q. -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) <-> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
35	34	biimpa 324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
36	32, 35	sylan2 346	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
37	36	exp32 294	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> (B e. Q. -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))))
38	37	imp 277	. . . . . . . . . 10 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
39	28, 38	jaod 329	. . . . . . . . 9 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
40	23, 39	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
41	12, 40	mtod 95	. . . . . . 7 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)))
42	41	exp31 293	. . . . . 6 |- (A <Q B -> (B e. Q. -> (A e. Q. -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)))))
43	42	imp3a 279	. . . . 5 |- (A <Q B -> ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
44	43	com12 13	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
45		sotric 2148	. . . . . 6 |- (( <Q Or Q. /\ ((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.)) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
46	6, 45	mpan 518	. . . . 5 |- (((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
47		recclpq 3866	. . . . 5 |- (B e. Q. -> (*Q` B) e. Q.)
48	46, 47, 13	syl2an 349	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
49	44, 48	sylibrd 179	. . 3 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
50	49	ancoms 334	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
51	3, 50	mpcom 49	1 |- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   Or wor 2059  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  Q.cnq 3773  1Qc1q 3774   .Q cmq 3776  *Qcrq 3777   <Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  1pr 3911  addclprlem1 3912  reclem2pr 3951  reclem3pr 3952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837

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