Theorem ltsor 4055

Description: 'Less than' is a strict ordering on real subset of complex numbers. Note: use ltso 4279 and not this one after the complex number postulates are derived, in order to maintain a "clean" derivation of complex number theorems directly from postulates.

Assertion

Ref	Expression
ltsor	|- < Or RR

Proof of Theorem ltsor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 4044	. . 3 |- (x e. RR <-> E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x))
2		elreal 4044	. . 3 |- (y e. RR <-> E.v(v e. R. /\ <.v, 0R>. = y))
3		elreal 4044	. . 3 |- (z e. RR <-> E.u(u e. R. /\ <.u, 0R>. = z))
4		breq1 2065	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. < <.v, 0R>. <-> x < <.v, 0R>.))
5		cleq1 1107	. . . . . . 7 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. <-> x = <.v, 0R>.))
6		breq2 2066	. . . . . . 7 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.v, 0R>. < <.w, 0R>. <-> <.v, 0R>. < x))
7	5, 6	orbi12d 475	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.) <-> (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x)))
8	7	negbid 463	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> (-. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.) <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x)))
9	4, 8	bibi12d 477	. . . 4 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.)) <-> (x < <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x))))
10	4	anbi1d 469	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) <-> (x < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.)))
11		breq1 2065	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. < <.u, 0R>. <-> x < <.u, 0R>.))
12	10, 11	imbi12d 474	. . . 4 |- (<.w, 0R>. = x -> (((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. < <.u, 0R>.) <-> ((x < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.)))
13	9, 12	anbi12d 476	. . 3 |- (<.w, 0R>. = x -> (((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.)) /\ ((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. < <.u, 0R>.)) <-> ((x < <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x)) /\ ((x < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.))))
14		breq2 2066	. . . . 5 |- (<.v, 0R>. = y -> (x < <.v, 0R>. <-> x < y))
15		cleq2 1110	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. = y -> (x = <.v, 0R>. <-> x = y))
16		breq1 2065	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. = y -> (<.v, 0R>. < x <-> y < x))
17	15, 16	orbi12d 475	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x) <-> (x = y \/ y < x)))
18	17	negbid 463	. . . . 5 |- (<.v, 0R>. = y -> (-. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x) <-> -. (x = y \/ y < x)))
19	14, 18	bibi12d 477	. . . 4 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x < <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x)) <-> (x < y <-> -. (x = y \/ y < x))))
20		breq1 2065	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> (<.v, 0R>. < <.u, 0R>. <-> y < <.u, 0R>.))
21	14, 20	anbi12d 476	. . . . 5 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) <-> (x < y /\ y < <.u, 0R>.)))
22	21	imbi1d 465	. . . 4 |- (<.v, 0R>. = y -> (((x < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.) <-> ((x < y /\ y < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.)))
23	19, 22	anbi12d 476	. . 3 |- (<.v, 0R>. = y -> (((x < <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < x)) /\ ((x < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.)) <-> ((x < y <-> -. (x = y \/ y < x)) /\ ((x < y /\ y < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.))))
24		breq2 2066	. . . . . 6 |- (<.u, 0R>. = z -> (y < <.u, 0R>. <-> y < z))
25	24	anbi2d 468	. . . . 5 |- (<.u, 0R>. = z -> ((x < y /\ y < <.u, 0R>.) <-> (x < y /\ y < z)))
26		breq2 2066	. . . . 5 |- (<.u, 0R>. = z -> (x < <.u, 0R>. <-> x < z))
27	25, 26	imbi12d 474	. . . 4 |- (<.u, 0R>. = z -> (((x < y /\ y < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.) <-> ((x < y /\ y < z) -> x < z)))
28	27	anbi2d 468	. . 3 |- (<.u, 0R>. = z -> (((x < y <-> -. (x = y \/ y < x)) /\ ((x < y /\ y < <.u, 0R>.) -> x < <.u, 0R>.)) <-> ((x < y <-> -. (x = y \/ y < x)) /\ ((x < y /\ y < z) -> x < z))))
29		ltsosr 3997	. . . . . . 7 |- <R Or R.
30		sotric 2148	. . . . . . 7 |- (( <R Or R. /\ (w e. R. /\ v e. R.)) -> (w <R v <-> -. (w = v \/ v <R w)))
31	29, 30	mpan 518	. . . . . 6 |- ((w e. R. /\ v e. R.) -> (w <R v <-> -. (w = v \/ v <R w)))
32		visset 1350	. . . . . . 7 |- w e. V
33		visset 1350	. . . . . . 7 |- v e. V
34	32, 33	ltresr 4052	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. < <.v, 0R>. <-> w <R v)
35	32	eqresr 4049	. . . . . . . 8 |- (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. <-> w = v)
36	33, 32	ltresr 4052	. . . . . . . 8 |- (<.v, 0R>. < <.w, 0R>. <-> v <R w)
37	35, 36	orbi12i 216	. . . . . . 7 |- ((<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.) <-> (w = v \/ v <R w))
38	37	negbii 162	. . . . . 6 |- (-. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.) <-> -. (w = v \/ v <R w))
39	31, 34, 38	3bitr4g 428	. . . . 5 |- ((w e. R. /\ v e. R.) -> (<.w, 0R>. < <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.)))
40	39	3adant3 599	. . . 4 |- ((w e. R. /\ v e. R. /\ u e. R.) -> (<.w, 0R>. < <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.)))
41		ltrelsr 3974	. . . . . 6 |- <R (_ (R. X. R.)
42		visset 1350	. . . . . 6 |- u e. V
43	32, 29, 41, 33, 42	sotri 2630	. . . . 5 |- ((w <R v /\ v <R u) -> w <R u)
44	33, 42	ltresr 4052	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. < <.u, 0R>. <-> v <R u)
45	34, 44	anbi12i 369	. . . . 5 |- ((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) <-> (w <R v /\ v <R u))
46	32, 42	ltresr 4052	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. < <.u, 0R>. <-> w <R u)
47	43, 45, 46	3imtr4 192	. . . 4 |- ((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. < <.u, 0R>.)
48	40, 47	jctir 241	. . 3 |- ((w e. R. /\ v e. R. /\ u e. R.) -> ((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. < <.w, 0R>.)) /\ ((<.w, 0R>. < <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. < <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. < <.u, 0R>.)))
49	1, 2, 3, 13, 23, 28, 48	3gencl 1367	. 2 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR) -> ((x < y <-> -. (x = y \/ y < x)) /\ ((x < y /\ y < z) -> x < z)))
50	49	so 2152	1 |- < Or RR

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   /\ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   class class class wbr 2054   Or wor 2059  R.cnr 3787  0Rc0r 3788