Theorem ltsrpr 3980

Description: Ordering of signed reals in terms of positive reals.

Hypotheses

Ref	Expression
ltsrpr.1	|- A e. V
ltsrpr.2	|- B e. V
ltsrpr.3	|- C e. V
ltsrpr.4	|- D e. V

Assertion

Ref	Expression
ltsrpr	|- ([<.A, B>.] ~R <R [<.C, D>.] ~R <-> (A +P. D) <P (B +P. C))

Proof of Theorem ltsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrex 3972	. 2 |- ~R e. V
2		ltsrpr.2	. 2 |- B e. V
3		ltsrpr.3	. 2 |- C e. V
4		ltsrpr.4	. 2 |- D e. V
5		enrer 3970	. 2 |- Er ~R
6		dmenr 3969	. 2 |- dom ~R = (P. X. P.)
7		df-nr 3961	. 2 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
8		ltrelsr 3974	. 2 |- <R (_ (R. X. R.)
9		ltrelpr 3895	. 2 |- <P (_ (P. X. P.)
10		0npr 3890	. 2 |- -. (/) e. P.
11		dmplp 3909	. 2 |- dom +P. = (P. X. P.)
12		df-ltr 3964	. . 3 |- <R = {<.x, y>. | ((x e. R. /\ y e. R.) /\ E.zE.wE.vE.u((x = [<.z, w>.] ~R /\ y = [<.v, u>.] ~R ) /\ (z +P. u) <P (w +P. v)))}
13		enreceq 3971	. . . . . 6 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R = [<.A, B>.] ~R <-> (z +P. B) = (w +P. A)))
14		enreceq 3971	. . . . . . 7 |- (((v e. P. /\ u e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) -> ([<.v, u>.] ~R = [<.C, D>.] ~R <-> (v +P. D) = (u +P. C)))
15		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- ((v +P. D) = (u +P. C) <-> (u +P. C) = (v +P. D))
16	14, 15	syl6bb 414	. . . . . 6 |- (((v e. P. /\ u e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) -> ([<.v, u>.] ~R = [<.C, D>.] ~R <-> (u +P. C) = (v +P. D)))
17	13, 16	bi2anan9 478	. . . . 5 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.))) -> (([<.z, w>.] ~R = [<.A, B>.] ~R /\ [<.v, u>.] ~R = [<.C, D>.] ~R ) <-> ((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D))))
18		opreq12 3008	. . . . . 6 |- (((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D)) -> ((z +P. B) +P. (u +P. C)) = ((w +P. A) +P. (v +P. D)))
19		visset 1350	. . . . . . 7 |- z e. V
20		visset 1350	. . . . . . 7 |- u e. V
21		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
22		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
23	21, 22	addcompr 3917	. . . . . . 7 |- (x +P. y) = (y +P. x)
24		visset 1350	. . . . . . . 8 |- f e. V
25	22, 24	addasspr 3918	. . . . . . 7 |- ((x +P. y) +P. f) = (x +P. (y +P. f))
26	19, 20, 2, 23, 25, 3	caopr4 3078	. . . . . 6 |- ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((z +P. B) +P. (u +P. C))
27		visset 1350	. . . . . . 7 |- w e. V
28		visset 1350	. . . . . . 7 |- v e. V
29		ltsrpr.1	. . . . . . 7 |- A e. V
30	27, 28, 29, 23, 25, 4	caopr4 3078	. . . . . 6 |- ((w +P. v) +P. (A +P. D)) = ((w +P. A) +P. (v +P. D))
31	18, 26, 30	3eqtr4g 1147	. . . . 5 |- (((z +P. B) = (w +P. A) /\ (u +P. C) = (v +P. D)) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D)))
32	17, 31	syl6bi 187	. . . 4 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.))) -> (([<.z, w>.] ~R = [<.A, B>.] ~R /\ [<.v, u>.] ~R = [<.C, D>.] ~R ) -> ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D))))
33		addclpr 3914	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. P. /\ C e. P.) -> (B +P. C) e. P.)
34	33	adantrr 312	. . . . . . . . 9 |- ((B e. P. /\ (C e. P. /\ D e. P.)) -> (B +P. C) e. P.)
35	34	adantll 309	. . . . . . . 8 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) -> (B +P. C) e. P.)
36		addclpr 3914	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. P. /\ v e. P.) -> (w +P. v) e. P.)
37	36	adantrr 312	. . . . . . . . 9 |- ((w e. P. /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (w +P. v) e. P.)
38	37	adantll 309	. . . . . . . 8 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (w +P. v) e. P.)
39	35, 38	anim12i 268	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) /\ ((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.))) -> ((B +P. C) e. P. /\ (w +P. v) e. P.))
40	39	ancoms 334	. . . . . 6 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) /\ ((A e. P. /\ B e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.))) -> ((B +P. C) e. P. /\ (w +P. v) e. P.))
41	40	an4s 390	. . . . 5 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.))) -> ((B +P. C) e. P. /\ (w +P. v) e. P.))
42		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (z +P. u) e. V
43		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (B +P. C) e. V
44	21, 22	ltapr 3945	. . . . . . 7 |- (f e. P. -> (x <P y <-> (f +P. x) <P (f +P. y)))
45		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (w +P. v) e. V
46		oprex 3018	. . . . . . 7 |- (A +P. D) e. V
47	42, 43, 44, 45, 23, 46	caoprord3 3072	. . . . . 6 |- ((((B +P. C) e. P. /\ (w +P. v) e. P.) /\ ((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D))) -> ((z +P. u) <P (w +P. v) <-> (A +P. D) <P (B +P. C)))
48	47	exp 291	. . . . 5 |- (((B +P. C) e. P. /\ (w +P. v) e. P.) -> (((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D)) -> ((z +P. u) <P (w +P. v) <-> (A +P. D) <P (B +P. C))))
49	41, 48	syl 12	. . . 4 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.))) -> (((z +P. u) +P. (B +P. C)) = ((w +P. v) +P. (A +P. D)) -> ((z +P. u) <P (w +P. v) <-> (A +P. D) <P (B +P. C))))
50	32, 49	syld 27	. . 3 |- ((((z e. P. /\ w e. P.) /\ (A e. P. /\ B e. P.)) /\ ((v e. P. /\ u e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.))) -> (([<.z, w>.] ~R = [<.A, B>.] ~R /\ [<.v, u>.] ~R = [<.C, D>.] ~R ) -> ((z +P. u) <P (w +P. v) <-> (A +P. D) <P (B +P. C))))
51	1, 5, 6, 7, 12, 50	brecop 3242	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) -> ([<.A, B>.] ~R <R [<.C, D>.] ~R <-> (A +P. D) <P (B +P. C)))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 51	brecop2 3243	1 |- ([<.A, B>.] ~R <R [<.C, D>.] ~R <-> (A +P. D) <P (B +P. C))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  [cec 3198  P.cnp 3779   +P. cpp 3781   <P cltp 3783   ~R cer 3786  R.cnr 3787   <R cltr 3793

This theorem is referenced by:  gt0srpr 3981  ltsosr 3997  0lt1sr 3998  ltasr 4003  mappsrpr 4012  ltpsrpr 4013  map2psrpr 4014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-enr 3960  df-nr 3961  df-ltr 3964

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