Theorem luk-1 658

Description: 1 of 3 axioms for propositional calculus due to Lukasiewicz, derived from Meredith's sole axiom.

Assertion

Ref	Expression
luk-1	|- ((ph -> ps) -> ((ps -> ch) -> (ph -> ch)))

Proof of Theorem luk-1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meredith 644	. 2 |- (((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps) -> ((ps -> ch) -> (ph -> ch)))
2		merlem13 657	. . . 4 |- ((ph -> ps) -> ((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps))
3		merlem13 657	. . . 4 |- (((ph -> ps) -> ((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps)) -> ((((((ps -> ch) -> (ph -> ch)) -> ph) -> (-. -. -. (ph -> ps) -> -. (ph -> ps))) -> -. -. (ph -> ps)) -> ((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps)))
4	2, 3	ax-mp 6	. . 3 |- ((((((ps -> ch) -> (ph -> ch)) -> ph) -> (-. -. -. (ph -> ps) -> -. (ph -> ps))) -> -. -. (ph -> ps)) -> ((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps))
5		meredith 644	. . 3 |- (((((((ps -> ch) -> (ph -> ch)) -> ph) -> (-. -. -. (ph -> ps) -> -. (ph -> ps))) -> -. -. (ph -> ps)) -> ((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps)) -> ((((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps) -> ((ps -> ch) -> (ph -> ch))) -> ((ph -> ps) -> ((ps -> ch) -> (ph -> ch)))))
6	4, 5	ax-mp 6	. 2 |- ((((((ch -> ch) -> (-. -. -. ph -> -. ph)) -> -. -. ph) -> ps) -> ((ps -> ch) -> (ph -> ch))) -> ((ph -> ps) -> ((ps -> ch) -> (ph -> ch))))
7	1, 6	ax-mp 6	1 |- ((ph -> ps) -> ((ps -> ch) -> (ph -> ch)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2

This theorem is referenced by:  luklem1 661  luklem2 662  luklem4 664  luklem6 666  luklem7 667  luklem8 668

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6

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