Theorem luk-2 659

Description: 2 of 3 axioms for propositional calculus due to Lukasiewicz, derived from Meredith's sole axiom.

Assertion

Ref	Expression
luk-2	|- ((-. ph -> ph) -> ph)

Proof of Theorem luk-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merlem5 649	. . . . 5 |- ((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph)))
2		merlem4 648	. . . . 5 |- (((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph)))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . 4 |- ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph))
4		merlem11 655	. . . 4 |- (((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph)) -> ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph))
5	3, 4	ax-mp 6	. . 3 |- ((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph)
6		meredith 644	. . 3 |- (((((ph -> -. (-. ph -> ph)) -> (-. -. ph -> -. (-. ph -> ph))) -> -. ph) -> -. ph) -> ((-. ph -> ph) -> ((-. ph -> ph) -> ph)))
7	5, 6	ax-mp 6	. 2 |- ((-. ph -> ph) -> ((-. ph -> ph) -> ph))
8		merlem11 655	. 2 |- (((-. ph -> ph) -> ((-. ph -> ph) -> ph)) -> ((-. ph -> ph) -> ph))
9	7, 8	ax-mp 6	1 |- ((-. ph -> ph) -> ph)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2

This theorem is referenced by:  luklem4 664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6

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