Theorem mapsnen 3334

Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255.

Hypotheses

Ref	Expression
mapsnen.1	|- A e. V
mapsnen.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mapsnen	|- (A ^m {B}) ~~ A

Proof of Theorem mapsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3018	. 2 |- (A ^m {B}) e. V
2		fvex 2838	. . 3 |- (z` B) e. V
3	2	a1i 7	. 2 |- (z e. (A ^m {B}) -> (z` B) e. V)
4		snex 1859	. . 3 |- {<.B, w>.} e. V
5	4	a1i 7	. 2 |- (w e. A -> {<.B, w>.} e. V)
6		mapsnen.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
7		mapsnen.2	. . . . . . . 8 |- B e. V
8	6, 7	mapsn 3269	. . . . . . 7 |- (A ^m {B}) = {z | E.y e. A z = {<.B, y>.}}
9	8	cleqabi 1176	. . . . . 6 |- (z e. (A ^m {B}) <-> E.y e. A z = {<.B, y>.})
10	9	anbi1i 368	. . . . 5 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> (E.y e. A z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)))
11		r19.41v 1302	. . . . 5 |- (E.y e. A (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> (E.y e. A z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)))
12	10, 11	bitr4 154	. . . 4 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> E.y e. A (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)))
13		df-rex 1206	. . . 4 |- (E.y e. A (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))))
14	12, 13	bitr 151	. . 3 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))))
15		fveq1 2831	. . . . . . . . . . 11 |- (z = {<.B, y>.} -> (z` B) = ({<.B, y>.}` B))
16		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
17	7, 16	fvsn 2879	. . . . . . . . . . 11 |- ({<.B, y>.}` B) = y
18	15, 17	syl6eq 1140	. . . . . . . . . 10 |- (z = {<.B, y>.} -> (z` B) = y)
19	18	cleq2d 1112	. . . . . . . . 9 |- (z = {<.B, y>.} -> (w = (z` B) <-> w = y))
20		eqcomb 812	. . . . . . . . 9 |- (w = y <-> y = w)
21	19, 20	syl6bb 414	. . . . . . . 8 |- (z = {<.B, y>.} -> (w = (z` B) <-> y = w))
22	21	pm5.32i 489	. . . . . . 7 |- ((z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> (z = {<.B, y>.} /\ y = w))
23	22	anbi2i 367	. . . . . 6 |- ((y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> (y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ y = w)))
24		anass 336	. . . . . 6 |- (((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) /\ y = w) <-> (y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ y = w)))
25	23, 24	bitr4 154	. . . . 5 |- ((y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> ((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) /\ y = w))
26		ancom 333	. . . . 5 |- (((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) /\ y = w) <-> (y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
27	25, 26	bitr 151	. . . 4 |- ((y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> (y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
28	27	biex 733	. . 3 |- (E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> E.y(y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
29		visset 1350	. . . 4 |- w e. V
30		eleq1 1149	. . . . 5 |- (y = w -> (y e. A <-> w e. A))
31		opeq2 1877	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.B, y>. = <.B, w>.)
32	31	sneqd 1818	. . . . . 6 |- (y = w -> {<.B, y>.} = {<.B, w>.})
33	32	cleq2d 1112	. . . . 5 |- (y = w -> (z = {<.B, y>.} <-> z = {<.B, w>.}))
34	30, 33	anbi12d 476	. . . 4 |- (y = w -> ((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.})))
35	29, 34	ceqsexv 1371	. . 3 |- (E.y(y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.}))
36	14, 28, 35	3bitr 155	. 2 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.}))
37	1, 3, 5, 36	en2 3305	1 |- (A ^m {B}) ~~ A

Syntax hints:   /\ wa 196  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001   ^m cm 3258   ~~ cen 3271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-map 3259  df-en 3274

metamath.org