Theorem mulasssr 3993

Description: Multiplication of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulasssr.1	|- B e. V
mulasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulasssr	|- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Proof of Theorem mulasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 3961	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 3979	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P z) +P. (y .P w)), ((x .P w) +P. (y .P z))>.] ~R )
3		mulsrpr 3979	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((z .P v) +P. (w .P u)), ((z .P u) +P. (w .P v))>.] ~R )
4		mulsrpr 3979	. . 3 |- (((((x .P z) +P. (y .P w)) e. P. /\ ((x .P w) +P. (y .P z)) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.((x .P z) +P. (y .P w)), ((x .P w) +P. (y .P z))>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((((x .P z) +P. (y .P w)) .P v) +P. (((x .P w) +P. (y .P z)) .P u)), ((((x .P z) +P. (y .P w)) .P u) +P. (((x .P w) +P. (y .P z)) .P v))>.] ~R )
5		mulsrpr 3979	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (((z .P v) +P. (w .P u)) e. P. /\ ((z .P u) +P. (w .P v)) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.((z .P v) +P. (w .P u)), ((z .P u) +P. (w .P v))>.] ~R ) = [<.((x .P ((z .P v) +P. (w .P u))) +P. (y .P ((z .P u) +P. (w .P v)))), ((x .P ((z .P u) +P. (w .P v))) +P. (y .P ((z .P v) +P. (w .P u))))>.] ~R )
6		addclpr 3914	. . . . . 6 |- (((x .P z) e. P. /\ (y .P w) e. P.) -> ((x .P z) +P. (y .P w)) e. P.)
7		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P z) e. P.)
8		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P w) e. P.)
9	6, 7, 8	syl2an 349	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P z) +P. (y .P w)) e. P.)
10	9	an4s 390	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P z) +P. (y .P w)) e. P.)
11		addclpr 3914	. . . . . 6 |- (((x .P w) e. P. /\ (y .P z) e. P.) -> ((x .P w) +P. (y .P z)) e. P.)
12		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P w) e. P.)
13		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P z) e. P.)
14	11, 12, 13	syl2an 349	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P w) +P. (y .P z)) e. P.)
15	14	an42s 391	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P w) +P. (y .P z)) e. P.)
16	10, 15	jca 236	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P z) +P. (y .P w)) e. P. /\ ((x .P w) +P. (y .P z)) e. P.))
17		addclpr 3914	. . . . . 6 |- (((z .P v) e. P. /\ (w .P u) e. P.) -> ((z .P v) +P. (w .P u)) e. P.)
18		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z .P v) e. P.)
19		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w .P u) e. P.)
20	17, 18, 19	syl2an 349	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P v) +P. (w .P u)) e. P.)
21	20	an4s 390	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P v) +P. (w .P u)) e. P.)
22		addclpr 3914	. . . . . 6 |- (((z .P u) e. P. /\ (w .P v) e. P.) -> ((z .P u) +P. (w .P v)) e. P.)
23		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ u e. P.) -> (z .P u) e. P.)
24		mulclpr 3916	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ v e. P.) -> (w .P v) e. P.)
25	22, 23, 24	syl2an 349	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ u e. P.) /\ (w e. P. /\ v e. P.)) -> ((z .P u) +P. (w .P v)) e. P.)
26	25	an42s 391	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P u) +P. (w .P v)) e. P.)
27	21, 26	jca 236	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (((z .P v) +P. (w .P u)) e. P. /\ ((z .P u) +P. (w .P v)) e. P.))
28		visset 1350	. . . 4 |- x e. V
29		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
30		visset 1350	. . . 4 |- z e. V
31		visset 1350	. . . . 5 |- f e. V
32		visset 1350	. . . . 5 |- g e. V
33	31, 32	mulcompr 3919	. . . 4 |- (f .P g) = (g .P f)
34		visset 1350	. . . . 5 |- h e. V
35	32, 34	distrpr 3926	. . . 4 |- (f .P (g +P. h)) = ((f .P g) +P. (f .P h))
36		visset 1350	. . . 4 |- w e. V
37		visset 1350	. . . 4 |- v e. V
38	32, 34	mulasspr 3920	. . . 4 |- ((f .P g) .P h) = (f .P (g .P h))
39		visset 1350	. . . 4 |- u e. V
40	31, 32	addcompr 3917	. . . 4 |- (f +P. g) = (g +P. f)
41	32, 34	addasspr 3918	. . . 4 |- ((f +P. g) +P. h) = (f +P. (g +P. h))
42	28, 29, 30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	caoprlem2 3083	. . 3 |- ((((x .P z) +P. (y .P w)) .P v) +P. (((x .P w) +P. (y .P z)) .P u)) = ((x .P ((z .P v) +P. (w .P u))) +P. (y .P ((z .P u) +P. (w .P v))))
43	28, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 38, 37, 40, 41	caoprlem2 3083	. . 3 |- ((((x .P z) +P. (y .P w)) .P u) +P. (((x .P w) +P. (y .P z)) .P v)) = ((x .P ((z .P u) +P. (w .P v))) +P. (y .P ((z .P v) +P. (w .P u))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 42, 43	ecoprass 3256	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
45		mulasssr.1	. . 3 |- B e. V
46		dmmulsr 3989	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
47		mulasssr.2	. . 3 |- C e. V
48		0nsr 3982	. . 3 |- -. (/) e. R.
49	45, 46, 47, 48	ndmoprass 3062	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
50	44, 49	pm2.61i 110	1 |- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Syntax hints:   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  P.cnp 3779   +P. cpp 3781   .P cmp 3782   ~R cer 3786  R.cnr 3787   .R cmr 3792

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 4009  recexsr 4010  axmulass 4073  axrecex 4079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-mr 3963

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