Theorem mulcanpi 3821

Description: Multiplication cancellation law for positive integers.

Hypothesis

Ref	Expression
mulcanpi.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 3807	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
2	1	adantr 306	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
3		mulpiord 3807	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
4	3	adantlr 310	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
5	2, 4	cleq12d 1115	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) <-> (A .o B) = (A .o C)))
6		nnmcan 3190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))
7	6	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
8		elni2 3799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))
9	8	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. N. -> (/) e. A)
10	7, 9	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ A e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
11	10	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
12		pinn 3800	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. N. -> A e. om)
13		pinn 3800	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. N. -> B e. om)
14		pinn 3800	. . . . . . . . . . . 12 |- (C e. N. -> C e. om)
15	11, 12, 13, 14	syl3an 628	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
16	15	3exp 611	. . . . . . . . . 10 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
17	16	com4r 41	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
18	17	pm2.43i 58	. . . . . . . 8 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))))
19	18	imp31 280	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
20	5, 19	sylbid 178	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
21		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A .N B) e. N. <-> (A .N C) e. N.))
22		mulclpi 3815	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
23	21, 22	syl5bi 183	. . . . . . . 8 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N C) e. N.))
24	23	imp 277	. . . . . . 7 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> (A .N C) e. N.)
25		mulcanpi.1	. . . . . . . 8 |- C e. V
26		dmmulpi 3813	. . . . . . . 8 |- dom .N = (N. X. N.)
27		0npi 3804	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. N.
28	25, 26, 27	ndmoprrcl 3060	. . . . . . 7 |- ((A .N C) e. N. -> (A e. N. /\ C e. N.))
29		pm3.27 260	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> C e. N.)
30	24, 28, 29	3syl 21	. . . . . 6 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> C e. N.)
31	20, 30	sylan2 346	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ ((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.))) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
32	31	exp32 294	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))))
33	32	imp4b 283	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C))
34	33	pm2.43i 58	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C)
35	34	exp 291	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707  omcom 2372  (class class class)co 3001   .o comu 3102  N.cnpi 3766   .N cmi 3768

This theorem is referenced by:  enqer 3840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-ni 3794  df-mi 3796

metamath.org