Theorem mulcl 4105

Description: Closure law for multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
axi.1	|- A e. CC
axi.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
mulcl	|- (A x. B) e. CC

Proof of Theorem mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi.1	. 2 |- A e. CC
2		axi.2	. 2 |- B e. CC
3		axmulcl 4068	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
4	1, 2, 3	mp2an 520	1 |- (A x. B) e. CC

Syntax hints:   e. wcel 1092  (class class class)co 3001  CCcc 4026   x. cmulc 4032

This theorem is referenced by:  muladd 4181  subdi 4182  mulzer1 4185  mul2neg 4192  divrec 4236  isqm1 4525  irec 4526  crulem 4528  cru 4529  crmult 4530  rimul 4534  sqmul 4688  binom 4712  discrlem1 4713  nnesq 4720  nn0opth 4724  sqrlem11 4741  sqrlem16 4746  sqr2irrlem1 4777  crre 4806  crim 4807  cjcj 4808  reim0 4809  cjre 4811  recj 4812  imcj 4813  readd 4814  imadd 4815  cjadd 4818  cjmul 4819  cjmulrcl 4821  reneg 4824  imneg 4826  cjneg 4827  addcj 4828  abs00 4839  absmul 4846  sqabsadd 4847  abstri 4859  normlem0 5062  normlem1 5063  normlem2 5064  normlem3 5065  normlem5 5067  normlem7 5069  bcseq 5073  norm-ii 5086  normpar2 5100  projlem3 5195  projlem4 5196  pjthlem5 5229  pjthlem7 5231  h1de2 5458

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-m1r 3967  df-c 4034  df-mul 4040

metamath.org