Theorem mulclprlem 3915

Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124.

Assertion

Ref	Expression
mulclprlem	|- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) -> x e. (A .P B)))

Distinct variable group(s):   x,g,h   x,A   x,B

Proof of Theorem mulclprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclpq 3866	. . . . . . . . 9 |- (h e. Q. -> (*Q` h) e. Q.)
2	1	adantl 305	. . . . . . . 8 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (*Q` h) e. Q.)
3		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- x e. V
4		oprex 3018	. . . . . . . . 9 |- (g .Q h) e. V
5		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
6		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
7	5, 6	ltmpq 3871	. . . . . . . . 9 |- (w e. Q. -> (y <Q z <-> (w .Q y) <Q (w .Q z)))
8		fvex 2838	. . . . . . . . 9 |- (*Q` h) e. V
9	5, 6	mulcompq 3858	. . . . . . . . 9 |- (y .Q z) = (z .Q y)
10	3, 4, 7, 8, 9	caoprord2 3071	. . . . . . . 8 |- ((*Q` h) e. Q. -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q ((g .Q h) .Q (*Q` h))))
11	2, 10	syl 12	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q ((g .Q h) .Q (*Q` h))))
12		recidpq 3865	. . . . . . . . . . 11 |- (h e. Q. -> (h .Q (*Q` h)) = 1Q)
13	12	opreq2d 3013	. . . . . . . . . 10 |- (h e. Q. -> (g .Q (h .Q (*Q` h))) = (g .Q 1Q))
14		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- h e. V
15	14, 8	mulasspq 3859	. . . . . . . . . 10 |- ((g .Q h) .Q (*Q` h)) = (g .Q (h .Q (*Q` h)))
16	13, 15	syl5eq 1136	. . . . . . . . 9 |- (h e. Q. -> ((g .Q h) .Q (*Q` h)) = (g .Q 1Q))
17		mulidpq 3863	. . . . . . . . 9 |- (g e. Q. -> (g .Q 1Q) = g)
18	16, 17	sylan9eqr 1145	. . . . . . . 8 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> ((g .Q h) .Q (*Q` h)) = g)
19	18	breq2d 2072	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> ((x .Q (*Q` h)) <Q ((g .Q h) .Q (*Q` h)) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q g))
20	11, 19	bitrd 406	. . . . . 6 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q g))
21		elprpq 3889	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ g e. A) -> g e. Q.)
22		elprpq 3889	. . . . . 6 |- ((B e. P. /\ h e. B) -> h e. Q.)
23	20, 21, 22	syl2an 349	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q g))
24		prcdpq 3891	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ g e. A) -> ((x .Q (*Q` h)) <Q g -> (x .Q (*Q` h)) e. A))
25	24	adantr 306	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((x .Q (*Q` h)) <Q g -> (x .Q (*Q` h)) e. A))
26	23, 25	sylbid 178	. . . 4 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> (x <Q (g .Q h) -> (x .Q (*Q` h)) e. A))
27		df-mp 3883	. . . . . . . . 9 |- .P = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (y .Q z)})}
28	27	genpprecl 3898	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((x .Q (*Q` h)) e. A /\ h e. B) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B)))
29	28	exp4b 296	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (B e. P. -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> (h e. B -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B)))))
30	29	com34 36	. . . . . 6 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (h e. B -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B)))))
31	30	imp32 281	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B)))
32	31	adantlr 310	. . . 4 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B)))
33	26, 32	syld 27	. . 3 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> (x <Q (g .Q h) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B)))
34	33	adantr 306	. 2 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B)))
35	8, 14	mulcompq 3858	. . . . . . . 8 |- ((*Q` h) .Q h) = (h .Q (*Q` h))
36	12, 35	syl5eq 1136	. . . . . . 7 |- (h e. Q. -> ((*Q` h) .Q h) = 1Q)
37	36	opreq2d 3013	. . . . . 6 |- (h e. Q. -> (x .Q ((*Q` h) .Q h)) = (x .Q 1Q))
38	8, 14	mulasspq 3859	. . . . . 6 |- ((x .Q (*Q` h)) .Q h) = (x .Q ((*Q` h) .Q h))
39	37, 38	syl5eq 1136	. . . . 5 |- (h e. Q. -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) = (x .Q 1Q))
40		mulidpq 3863	. . . . 5 |- (x e. Q. -> (x .Q 1Q) = x)
41	39, 40	sylan9eq 1144	. . . 4 |- ((h e. Q. /\ x e. Q.) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) = x)
42	41	eleq1d 1155	. . 3 |- ((h e. Q. /\ x e. Q.) -> (((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B) <-> x e. (A .P B)))
43	22	adantl 305	. . 3 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> h e. Q.)
44	42, 43	sylan 343	. 2 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P B) <-> x e. (A .P B)))
45	34, 44	sylibd 177	1 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) -> x e. (A .P B)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  Q.cnq 3773  1Qc1q 3774   .Q cmq 3776  *Qcrq 3777   <Q cltq 3778  P.cnp 3779   .P cmp 3782

This theorem is referenced by:  mulclpr 3916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-mp 3883

metamath.org