Theorem mulcmpblnq 3847

Description: Lemma showing compatibility of multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
cmpblnq.1	|- A e. V
cmpblnq.2	|- B e. V
cmpblnq.3	|- C e. V
cmpblnq.4	|- D e. V
cmpblnq.5	|- F e. V
cmpblnq.6	|- G e. V
cmpblnq.7	|- R e. V
cmpblnq.8	|- S e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq	|- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((F e. N. /\ G e. N.) /\ (R e. N. /\ S e. N.))) -> (((A .N D) = (B .N C) /\ (F .N S) = (G .N R)) -> <.(A .N F), (B .N G)>. ~Q <.(C .N R), (D .N S)>.))

Proof of Theorem mulcmpblnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 |- ((A e. N. /\ F e. N.) -> (A .N F) e. N.)
2		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 |- ((B e. N. /\ G e. N.) -> (B .N G) e. N.)
3	1, 2	anim12i 268	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ F e. N.) /\ (B e. N. /\ G e. N.)) -> ((A .N F) e. N. /\ (B .N G) e. N.))
4	3	an4s 390	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (F e. N. /\ G e. N.)) -> ((A .N F) e. N. /\ (B .N G) e. N.))
5		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ R e. N.) -> (C .N R) e. N.)
6		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 |- ((D e. N. /\ S e. N.) -> (D .N S) e. N.)
7	5, 6	anim12i 268	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ R e. N.) /\ (D e. N. /\ S e. N.)) -> ((C .N R) e. N. /\ (D .N S) e. N.))
8	7	an4s 390	. . . . . 6 |- (((C e. N. /\ D e. N.) /\ (R e. N. /\ S e. N.)) -> ((C .N R) e. N. /\ (D .N S) e. N.))
9	4, 8	anim12i 268	. . . . 5 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (F e. N. /\ G e. N.)) /\ ((C e. N. /\ D e. N.) /\ (R e. N. /\ S e. N.))) -> (((A .N F) e. N. /\ (B .N G) e. N.) /\ ((C .N R) e. N. /\ (D .N S) e. N.)))
10	9	an4s 390	. . . 4 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((F e. N. /\ G e. N.) /\ (R e. N. /\ S e. N.))) -> (((A .N F) e. N. /\ (B .N G) e. N.) /\ ((C .N R) e. N. /\ (D .N S) e. N.)))
11		enqbreq 3838	. . . 4 |- ((((A .N F) e. N. /\ (B .N G) e. N.) /\ ((C .N R) e. N. /\ (D .N S) e. N.)) -> (<.(A .N F), (B .N G)>. ~Q <.(C .N R), (D .N S)>. <-> ((A .N F) .N (D .N S)) = ((B .N G) .N (C .N R))))
12	10, 11	syl 12	. . 3 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((F e. N. /\ G e. N.) /\ (R e. N. /\ S e. N.))) -> (<.(A .N F), (B .N G)>. ~Q <.(C .N R), (D .N S)>. <-> ((A .N F) .N (D .N S)) = ((B .N G) .N (C .N R))))
13		cmpblnq.1	. . . . 5 |- A e. V
14		cmpblnq.5	. . . . 5 |- F e. V
15		cmpblnq.4	. . . . 5 |- D e. V
16		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
17		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
18	16, 17	mulcompi 3818	. . . . 5 |- (x .N y) = (y .N x)
19		visset 1350	. . . . . 6 |- z e. V
20	17, 19	mulasspi 3819	. . . . 5 |- ((x .N y) .N z) = (x .N (y .N z))
21		cmpblnq.8	. . . . 5 |- S e. V
22	13, 14, 15, 18, 20, 21	caopr4 3078	. . . 4 |- ((A .N F) .N (D .N S)) = ((A .N D) .N (F .N S))
23		cmpblnq.2	. . . . 5 |- B e. V
24		cmpblnq.6	. . . . 5 |- G e. V
25		cmpblnq.3	. . . . 5 |- C e. V
26		cmpblnq.7	. . . . 5 |- R e. V
27	23, 24, 25, 18, 20, 26	caopr4 3078	. . . 4 |- ((B .N G) .N (C .N R)) = ((B .N C) .N (G .N R))
28	22, 27	cleq12i 1114	. . 3 |- (((A .N F) .N (D .N S)) = ((B .N G) .N (C .N R)) <-> ((A .N D) .N (F .N S)) = ((B .N C) .N (G .N R)))
29	12, 28	syl6bb 414	. 2 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((F e. N. /\ G e. N.) /\ (R e. N. /\ S e. N.))) -> (<.(A .N F), (B .N G)>. ~Q <.(C .N R), (D .N S)>. <-> ((A .N D) .N (F .N S)) = ((B .N C) .N (G .N R))))
30		opreq12 3008	. 2 |- (((A .N D) = (B .N C) /\ (F .N S) = (G .N R)) -> ((A .N D) .N (F .N S)) = ((B .N C) .N (G .N R)))
31	29, 30	syl5bir 184	1 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((F e. N. /\ G e. N.) /\ (R e. N. /\ S e. N.))) -> (((A .N D) = (B .N C) /\ (F .N S) = (G .N R)) -> <.(A .N F), (B .N G)>. ~Q <.(C .N R), (D .N S)>.))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  N.cnpi 3766   .N cmi 3768   ~Q ceq 3772

This theorem is referenced by:  mulpipq 3849

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-ni 3794  df-mi 3796  df-enq 3831

metamath.org