Theorem mulcomsr 3992

Description: Multiplication of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomsr.1	|- A e. V
mulcomsr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	|- (A .R B) = (B .R A)

Proof of Theorem mulcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 3961	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 3979	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P z) +P. (y .P w)), ((x .P w) +P. (y .P z))>.] ~R )
3		mulsrpr 3979	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.x, y>.] ~R ) = [<.((z .P x) +P. (w .P y)), ((z .P y) +P. (w .P x))>.] ~R )
4		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
5		visset 1350	. . . . 5 |- z e. V
6	4, 5	mulcompr 3919	. . . 4 |- (x .P z) = (z .P x)
7		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1350	. . . . 5 |- w e. V
9	7, 8	mulcompr 3919	. . . 4 |- (y .P w) = (w .P y)
10	6, 9	opreq12i 3011	. . 3 |- ((x .P z) +P. (y .P w)) = ((z .P x) +P. (w .P y))
11	4, 8	mulcompr 3919	. . . . 5 |- (x .P w) = (w .P x)
12	7, 5	mulcompr 3919	. . . . 5 |- (y .P z) = (z .P y)
13	11, 12	opreq12i 3011	. . . 4 |- ((x .P w) +P. (y .P z)) = ((w .P x) +P. (z .P y))
14		oprex 3018	. . . . 5 |- (w .P x) e. V
15		oprex 3018	. . . . 5 |- (z .P y) e. V
16	14, 15	addcompr 3917	. . . 4 |- ((w .P x) +P. (z .P y)) = ((z .P y) +P. (w .P x))
17	13, 16	eqtr 1119	. . 3 |- ((x .P w) +P. (y .P z)) = ((z .P y) +P. (w .P x))
18	1, 2, 3, 10, 17	ecoprcom 3255	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
19		mulcomsr.2	. . 3 |- B e. V
20		dmmulsr 3989	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
21		mulcomsr.1	. . 3 |- A e. V
22	19, 20, 21	ndmoprcom 3061	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
23	18, 22	pm2.61i 110	1 |- (A .R B) = (B .R A)

Syntax hints:   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  P.cnp 3779   +P. cpp 3781   .P cmp 3782   ~R cer 3786  R.cnr 3787   .R cmr 3792

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 4009  mulresr 4051  axmulcom 4071  axmulass 4073  axrecex 4079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-mr 3963

metamath.org