Theorem mulpipq 3849

Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
mulpipq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Proof of Theorem mulpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 1893	. 2 |- <.(A .N C), (B .N D)>. e. V
2		opex 1893	. 2 |- <.(a .N g), (b .N h)>. e. V
3		opex 1893	. 2 |- <.(c .N t), (d .N s)>. e. V
4		enqex 3842	. 2 |- ~Q e. V
5		enqer 3840	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 3839	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-enq 3831	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
8		opreq12 3008	. . . 4 |- ((z = a /\ u = d) -> (z .N u) = (a .N d))
9		opreq12 3008	. . . 4 |- ((w = b /\ v = c) -> (w .N v) = (b .N c))
10	8, 9	cleqan12d 1116	. . 3 |- (((z = a /\ u = d) /\ (w = b /\ v = c)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
11	10	an42s 391	. 2 |- (((z = a /\ w = b) /\ (v = c /\ u = d)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
12		opreq12 3008	. . . 4 |- ((z = g /\ u = s) -> (z .N u) = (g .N s))
13		opreq12 3008	. . . 4 |- ((w = h /\ v = t) -> (w .N v) = (h .N t))
14	12, 13	cleqan12d 1116	. . 3 |- (((z = g /\ u = s) /\ (w = h /\ v = t)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
15	14	an42s 391	. 2 |- (((z = g /\ w = h) /\ (v = t /\ u = s)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
16		df-mpq 3830	. 2 |- .pQ = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w .N u), (v .N f)>.))}
17		opeq12 1878	. . . 4 |- (((w .N u) = (a .N g) /\ (v .N f) = (b .N h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
18		opreq12 3008	. . . 4 |- ((w = a /\ u = g) -> (w .N u) = (a .N g))
19		opreq12 3008	. . . 4 |- ((v = b /\ f = h) -> (v .N f) = (b .N h))
20	17, 18, 19	syl2an 349	. . 3 |- (((w = a /\ u = g) /\ (v = b /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
21	20	an4s 390	. 2 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
22		opeq12 1878	. . . 4 |- (((w .N u) = (c .N t) /\ (v .N f) = (d .N s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
23		opreq12 3008	. . . 4 |- ((w = c /\ u = t) -> (w .N u) = (c .N t))
24		opreq12 3008	. . . 4 |- ((v = d /\ f = s) -> (v .N f) = (d .N s))
25	22, 23, 24	syl2an 349	. . 3 |- (((w = c /\ u = t) /\ (v = d /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
26	25	an4s 390	. 2 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
27		opeq12 1878	. . . 4 |- (((w .N u) = (A .N C) /\ (v .N f) = (B .N D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
28		opreq12 3008	. . . 4 |- ((w = A /\ u = C) -> (w .N u) = (A .N C))
29		opreq12 3008	. . . 4 |- ((v = B /\ f = D) -> (v .N f) = (B .N D))
30	27, 28, 29	syl2an 349	. . 3 |- (((w = A /\ u = C) /\ (v = B /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
31	30	an4s 390	. 2 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
32		df-mq 3834	. 2 |- .Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.aE.bE.cE.d((x = [<.a, b>.] ~Q /\ y = [<.c, d>.] ~Q ) /\ z = [(<.a, b>. .pQ <.c, d>.)] ~Q ))}
33		df-nq 3832	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
34		visset 1350	. . 3 |- a e. V
35		visset 1350	. . 3 |- b e. V
36		visset 1350	. . 3 |- c e. V
37		visset 1350	. . 3 |- d e. V
38		visset 1350	. . 3 |- g e. V
39		visset 1350	. . 3 |- h e. V
40		visset 1350	. . 3 |- t e. V
41		visset 1350	. . 3 |- s e. V
42	34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	mulcmpblnq 3847	. 2 |- ((((a e. N. /\ b e. N.) /\ (c e. N. /\ d e. N.)) /\ ((g e. N. /\ h e. N.) /\ (t e. N. /\ s e. N.))) -> (((a .N d) = (b .N c) /\ (g .N s) = (h .N t)) -> <.(a .N g), (b .N h)>. ~Q <.(c .N t), (d .N s)>.))
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 21, 26, 31, 32, 33, 42	oprec 3254	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810  (class class class)co 3001  [cec 3198  N.cnpi 3766   .N cmi 3768   .pQ cmpq 3771   ~Q ceq 3772  Q.cnq 3773   .Q cmq 3776

This theorem is referenced by:  mulclpq 3854  mulcompq 3858  mulasspq 3859  distrpq 3861  mulidpq 3863  recmulpq 3864  ltmpq 3871  prlem934b 3932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834

metamath.org