Theorem ndmfv 2848

Description: The value of a class outside its domain is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
ndmfv	|- (-. A e. dom F -> (F` A) = (/))

Proof of Theorem ndmfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . 6 |- (x = A -> (x e. dom F <-> A e. dom F))
2		breq1 2065	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xFy <-> AFy))
3	2	biexdv 936	. . . . . 6 |- (x = A -> (E.y xFy <-> E.y AFy))
4		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
5	4	eldm 2527	. . . . . 6 |- (x e. dom F <-> E.y xFy)
6	1, 3, 5	vtoclbg 1384	. . . . 5 |- (A e. V -> (A e. dom F <-> E.y AFy))
7		euex 1021	. . . . 5 |- (E!y AFy -> E.y AFy)
8	6, 7	syl5bir 184	. . . 4 |- (A e. V -> (E!y AFy -> A e. dom F))
9	8	con3d 87	. . 3 |- (A e. V -> (-. A e. dom F -> -. E!y AFy))
10		tz6.12-2 2845	. . 3 |- (-. E!y AFy -> (F` A) = (/))
11	9, 10	syl6 23	. 2 |- (A e. V -> (-. A e. dom F -> (F` A) = (/)))
12		fvprc 2829	. . 3 |- (-. A e. V -> (F` A) = (/))
13	12	a1d 14	. 2 |- (-. A e. V -> (-. A e. dom F -> (F` A) = (/)))
14	11, 13	pm2.61i 110	1 |- (-. A e. dom F -> (F` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2  E.wex 678  E!weu 1007   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  dom cdm 2410  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  ndmfvrcl 2849  nfvres 2850  funfv 2862  fvco 2865  rdgsucopabn 2985  oprprc1 3019  oprssdm 3056  ndmoprg 3057  1st2val 3097  r1tr 3498  rankr1 3518  alephon 3671  alephcard 3673  alephnbtwn 3674  alephgeom 3687  cfub 3703  cardcf 3706  cflecard 3707  cfle 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

metamath.org