Theorem ndmoprg 3057

Description: The value of an operation outside its domain.

Hypothesis

Ref	Expression
ndmoprg.1	|- dom F = (S X. S)

Assertion

Ref	Expression
ndmoprg	|- ((B e. C /\ -. (A e. S /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Proof of Theorem ndmoprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpg 2454	. . . . 5 |- (B e. C -> (<.A, B>. e. (S X. S) <-> (A e. S /\ B e. S)))
2		ndmoprg.1	. . . . . 6 |- dom F = (S X. S)
3	2	eleq2i 1153	. . . . 5 |- (<.A, B>. e. dom F <-> <.A, B>. e. (S X. S))
4	1, 3	syl5bb 410	. . . 4 |- (B e. C -> (<.A, B>. e. dom F <-> (A e. S /\ B e. S)))
5	4	negbid 463	. . 3 |- (B e. C -> (-. <.A, B>. e. dom F <-> -. (A e. S /\ B e. S)))
6		ndmfv 2848	. . . 4 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (F` <.A, B>.) = (/))
7		df-opr 3003	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
8	6, 7	syl5eq 1136	. . 3 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (AFB) = (/))
9	5, 8	syl6bir 188	. 2 |- (B e. C -> (-. (A e. S /\ B e. S) -> (AFB) = (/)))
10	9	imp 277	1 |- ((B e. C /\ -. (A e. S /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  <.cop 1810   X. cxp 2408  dom cdm 2410  ` cfv 2422  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  ndmoprcl 3058  ndmopr 3059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org