Theorem nn0opthlem2 4723

Description: Lemma for nn0opth 4724. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-02.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	|- A e. NN0
nn0opth.2	|- B e. NN0
nn0opth.3	|- C e. NN0
nn0opth.4	|- D e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem2	|- ((B <_ A /\ D <_ C) -> (A < C -> -. ((A x. A) + B) = ((C x. C) + D)))

Proof of Theorem nn0opthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. NN0
2	1	nn0re 4544	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
3	2, 2	remulcl 4119	. . . . . . . 8 |- (A x. A) e. RR
4		nn0opth.2	. . . . . . . . 9 |- B e. NN0
5	4	nn0re 4544	. . . . . . . 8 |- B e. RR
6	3, 5	readdcl 4118	. . . . . . 7 |- ((A x. A) + B) e. RR
7		2re 4470	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
8	7, 2	remulcl 4119	. . . . . . . 8 |- (2 x. A) e. RR
9	3, 8	readdcl 4118	. . . . . . 7 |- ((A x. A) + (2 x. A)) e. RR
10		nn0opth.3	. . . . . . . . 9 |- C e. NN0
11	10	nn0re 4544	. . . . . . . 8 |- C e. RR
12	11, 11	remulcl 4119	. . . . . . 7 |- (C x. C) e. RR
13	6, 9, 12	lelttr 4308	. . . . . 6 |- ((((A x. A) + B) <_ ((A x. A) + (2 x. A)) /\ ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C)) -> ((A x. A) + B) < (C x. C))
14	1, 4	nn0lele2x 4563	. . . . . . 7 |- (B <_ A -> B <_ (2 x. A))
15	5, 8, 3	leadd2 4315	. . . . . . 7 |- (B <_ (2 x. A) <-> ((A x. A) + B) <_ ((A x. A) + (2 x. A)))
16	14, 15	sylib 173	. . . . . 6 |- (B <_ A -> ((A x. A) + B) <_ ((A x. A) + (2 x. A)))
17	1, 10	nn0opthlem1 4722	. . . . . . 7 |- (A < C <-> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))
18	17	biimp 133	. . . . . 6 |- (A < C -> ((A x. A) + (2 x. A)) < (C x. C))
19	13, 16, 18	syl2an 349	. . . . 5 |- ((B <_ A /\ A < C) -> ((A x. A) + B) < (C x. C))
20	12	recn 4098	. . . . . . . 8 |- (C x. C) e. CC
21	20	addid1 4112	. . . . . . 7 |- ((C x. C) + 0) = (C x. C)
22		nn0opth.4	. . . . . . . . 9 |- D e. NN0
23	22	nn0ge0i 4559	. . . . . . . 8 |- 0 <_ D
24		ax0re 4063	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
25	22	nn0re 4544	. . . . . . . . 9 |- D e. RR
26	24, 25, 12	leadd2 4315	. . . . . . . 8 |- (0 <_ D <-> ((C x. C) + 0) <_ ((C x. C) + D))
27	23, 26	mpbi 164	. . . . . . 7 |- ((C x. C) + 0) <_ ((C x. C) + D)
28	21, 27	eqbrtrr 2078	. . . . . 6 |- (C x. C) <_ ((C x. C) + D)
29	12, 25	readdcl 4118	. . . . . . 7 |- ((C x. C) + D) e. RR
30	6, 12, 29	ltletr 4309	. . . . . 6 |- ((((A x. A) + B) < (C x. C) /\ (C x. C) <_ ((C x. C) + D)) -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D))
31	28, 30	mpan2 519	. . . . 5 |- (((A x. A) + B) < (C x. C) -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D))
32	19, 31	syl 12	. . . 4 |- ((B <_ A /\ A < C) -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D))
33	32	exp 291	. . 3 |- (B <_ A -> (A < C -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D)))
34	33	adantr 306	. 2 |- ((B <_ A /\ D <_ C) -> (A < C -> ((A x. A) + B) < ((C x. C) + D)))
35	6, 29	ltne 4305	. 2 |- (((A x. A) + B) < ((C x. C) + D) -> -. ((A x. A) + B) = ((C x. C) + D))
36	34, 35	syl6 23	1 |- ((B <_ A /\ D <_ C) -> (A < C -> -. ((A x. A) + B) = ((C x. C) + D)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  0cc0 4028   + caddc 4031   x. cmulc 4032   < clt 4033   <_ cle 4092  NN0cn0 4094  2c2 4454

This theorem is referenced by:  nn0opth 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org