Theorem nn0subt 4587

Description: Subtraction of nonnegative integers.

Assertion

Ref	Expression
nn0subt	|- ((A e. NN0 /\ B e. NN0) -> (A <_ B <-> (B - A) e. NN0))

Proof of Theorem nn0subt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsubt 4451	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A < B <-> (B - A) e. NN))
2	1	exp 291	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> (B e. NN -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
3		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 |- (B = 0 -> (A < B <-> A < 0))
4		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 |- (B = 0 -> (B - A) = (0 - A))
5	4	eleq1d 1155	. . . . . . . . . 10 |- (B = 0 -> ((B - A) e. NN <-> (0 - A) e. NN))
6	3, 5	bibi12d 477	. . . . . . . . 9 |- (B = 0 -> ((A < B <-> (B - A) e. NN) <-> (A < 0 <-> (0 - A) e. NN)))
7		nnret 4427	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. NN -> A e. RR)
8		lt0neg1t 4370	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> (A < 0 <-> 0 < -uA))
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (A e. NN -> (A < 0 <-> 0 < -uA))
10		nnnegz 4566	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. NN -> -uA e. ZZ)
11		elnnz 4572	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-uA e. NN <-> (-uA e. ZZ /\ 0 < -uA))
12	11	baib 506	. . . . . . . . . . . 12 |- (-uA e. ZZ -> (-uA e. NN <-> 0 < -uA))
13	10, 12	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. NN -> (-uA e. NN <-> 0 < -uA))
14		df-neg 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- -uA = (0 - A)
15	14	eleq1i 1152	. . . . . . . . . . 11 |- (-uA e. NN <-> (0 - A) e. NN)
16	13, 15	syl5rbbr 413	. . . . . . . . . 10 |- (A e. NN -> (0 < -uA <-> (0 - A) e. NN))
17	9, 16	bitrd 406	. . . . . . . . 9 |- (A e. NN -> (A < 0 <-> (0 - A) e. NN))
18	6, 17	syl5bir 184	. . . . . . . 8 |- (B = 0 -> (A e. NN -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
19	18	com12 13	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> (B = 0 -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
20	2, 19	jaod 329	. . . . . 6 |- (A e. NN -> ((B e. NN \/ B = 0) -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
21		breq1 2065	. . . . . . . . 9 |- (A = 0 -> (A < B <-> 0 < B))
22		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 |- (A = 0 -> (B - A) = (B - 0))
23	22	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 |- (A = 0 -> ((B - A) e. NN <-> (B - 0) e. NN))
24	21, 23	bibi12d 477	. . . . . . . 8 |- (A = 0 -> ((A < B <-> (B - A) e. NN) <-> (0 < B <-> (B - 0) e. NN)))
25		nnzt 4579	. . . . . . . . 9 |- (B e. NN -> B e. ZZ)
26		zcnt 4568	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. ZZ -> B e. CC)
27		subid1t 4160	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CC -> (B - 0) = B)
28	27	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. CC -> ((B - 0) e. NN <-> B e. NN))
29	26, 28	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (B e. ZZ -> ((B - 0) e. NN <-> B e. NN))
30		elnnz 4572	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. NN <-> (B e. ZZ /\ 0 < B))
31	30	baib 506	. . . . . . . . . 10 |- (B e. ZZ -> (B e. NN <-> 0 < B))
32	29, 31	bitr2d 407	. . . . . . . . 9 |- (B e. ZZ -> (0 < B <-> (B - 0) e. NN))
33	25, 32	syl 12	. . . . . . . 8 |- (B e. NN -> (0 < B <-> (B - 0) e. NN))
34	24, 33	syl5bir 184	. . . . . . 7 |- (A = 0 -> (B e. NN -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
35		ax0re 4063	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
36	35	ltnr 4338	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 < 0
37		0nnn 4443	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 e. NN
38		0cn 4100	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
39	38	subid 4155	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 - 0) = 0
40	39	eleq1i 1152	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 - 0) e. NN <-> 0 e. NN)
41	37, 40	mtbir 167	. . . . . . . . . 10 |- -. (0 - 0) e. NN
42		pm5.21 502	. . . . . . . . . 10 |- ((-. 0 < 0 /\ -. (0 - 0) e. NN) -> (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN))
43	36, 41, 42	mp2an 520	. . . . . . . . 9 |- (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)
44		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 |- (B = 0 -> (0 < B <-> 0 < 0))
45		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 |- (B = 0 -> (B - 0) = (0 - 0))
46	45	eleq1d 1155	. . . . . . . . . 10 |- (B = 0 -> ((B - 0) e. NN <-> (0 - 0) e. NN))
47	44, 46	bibi12d 477	. . . . . . . . 9 |- (B = 0 -> ((0 < B <-> (B - 0) e. NN) <-> (0 < 0 <-> (0 - 0) e. NN)))
48	43, 47	mpbiri 169	. . . . . . . 8 |- (B = 0 -> (0 < B <-> (B - 0) e. NN))
49	24, 48	syl5bir 184	. . . . . . 7 |- (A = 0 -> (B = 0 -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
50	34, 49	jaod 329	. . . . . 6 |- (A = 0 -> ((B e. NN \/ B = 0) -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
51	20, 50	jaoi 275	. . . . 5 |- ((A e. NN \/ A = 0) -> ((B e. NN \/ B = 0) -> (A < B <-> (B - A) e. NN)))
52	51	imp 277	. . . 4 |- (((A e. NN \/ A = 0) /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> (A < B <-> (B - A) e. NN))
53		subeq0t 4169	. . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> ((B - A) = 0 <-> B = A))
54		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- (A = B <-> B = A)
55	53, 54	syl6rbbr 417	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ A e. CC) -> (A = B <-> (B - A) = 0))
56	55	ancoms 334	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A = B <-> (B - A) = 0))
57		nncnt 4428	. . . . . 6 |- (A e. NN -> A e. CC)
58		eleq1 1149	. . . . . . 7 |- (A = 0 -> (A e. CC <-> 0 e. CC))
59	38, 58	mpbiri 169	. . . . . 6 |- (A = 0 -> A e. CC)
60	57, 59	jaoi 275	. . . . 5 |- ((A e. NN \/ A = 0) -> A e. CC)
61		nncnt 4428	. . . . . 6 |- (B e. NN -> B e. CC)
62		eleq1 1149	. . . . . . 7 |- (B = 0 -> (B e. CC <-> 0 e. CC))
63	38, 62	mpbiri 169	. . . . . 6 |- (B = 0 -> B e. CC)
64	61, 63	jaoi 275	. . . . 5 |- ((B e. NN \/ B = 0) -> B e. CC)
65	56, 60, 64	syl2an 349	. . . 4 |- (((A e. NN \/ A = 0) /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> (A = B <-> (B - A) = 0))
66	52, 65	orbi12d 475	. . 3 |- (((A e. NN \/ A = 0) /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> ((A < B \/ A = B) <-> ((B - A) e. NN \/ (B - A) = 0)))
67		leloet 4284	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
68		eleq1 1149	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (A e. RR <-> 0 e. RR))
69	35, 68	mpbiri 169	. . . . 5 |- (A = 0 -> A e. RR)
70	7, 69	jaoi 275	. . . 4 |- ((A e. NN \/ A = 0) -> A e. RR)
71		nnret 4427	. . . . 5 |- (B e. NN -> B e. RR)
72		eleq1 1149	. . . . . 6 |- (B = 0 -> (B e. RR <-> 0 e. RR))
73	35, 72	mpbiri 169	. . . . 5 |- (B = 0 -> B e. RR)
74	71, 73	jaoi 275	. . . 4 |- ((B e. NN \/ B = 0) -> B e. RR)
75	67, 70, 74	syl2an 349	. . 3 |- (((A e. NN \/ A = 0) /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
76		elnn0 4536	. . . 4 |- ((B - A) e. NN0 <-> ((B - A) e. NN \/ (B - A) = 0))
77	76	a1i 7	. . 3 |- (((A e. NN \/ A = 0) /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> ((B - A) e. NN0 <-> ((B - A) e. NN \/ (B - A) = 0)))
78	66, 75, 77	3bitr4d 424	. 2 |- (((A e. NN \/ A = 0) /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> (A <_ B <-> (B - A) e. NN0))
79		elnn0 4536	. 2 |- (A e. NN0 <-> (A e. NN \/ A = 0))
80		elnn0 4536	. 2 |- (B e. NN0 <-> (B e. NN \/ B = 0))
81	78, 79, 80	syl2anb 350	1 |- ((A e. NN0 /\ B e. NN0) -> (A <_ B <-> (B - A) e. NN0))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  CCcc 4026  RRcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   - cmin 4089  -ucneg 4090   <_ cle 4092  NNcn 4093  NN0cn0 4094  ZZcz 4095

This theorem is referenced by:  zaddclt 4590

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org