HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nnaddm1clt 4452
Description: Closure of addition of natural numbers minus one.
Assertion
Ref Expression
nnaddm1clt |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((A + B) - 1) e. NN)
Proof of Theorem nnaddm1clt
StepHypRef Expression
1 ax1re 4064 . . . 4 |- 1 e. RR
21, 1readdcl 4118 . . . . 5 |- (1 + 1) e. RR
3 ltletrt 4290 . . . . 5 |- ((1 e. RR /\ (1 + 1) e. RR /\ (A + B) e. RR) -> ((1 < (1 + 1) /\ (1 + 1) <_ (A + B)) -> 1 < (A + B)))
42, 3mp3an2 640 . . . 4 |- ((1 e. RR /\ (A + B) e. RR) -> ((1 < (1 + 1) /\ (1 + 1) <_ (A + B)) -> 1 < (A + B)))
51, 4mpan 518 . . 3 |- ((A + B) e. RR -> ((1 < (1 + 1) /\ (1 + 1) <_ (A + B)) -> 1 < (A + B)))
6 axaddrcl 4067 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)
7 nnret 4427 . . . 4 |- (A e. NN -> A e. RR)
8 nnret 4427 . . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR)
96, 7, 8syl2an 349 . . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A + B) e. RR)
10 letrt 4291 . . . . . 6 |- (((1 + 1) e. RR /\ (1 + B) e. RR /\ (A + B) e. RR) -> (((1 + 1) <_ (1 + B) /\ (1 + B) <_ (A + B)) -> (1 + 1) <_ (A + B)))
112, 10mp3an1 639 . . . . 5 |- (((1 + B) e. RR /\ (A + B) e. RR) -> (((1 + 1) <_ (1 + B) /\ (1 + B) <_ (A + B)) -> (1 + 1) <_ (A + B)))
12 axaddrcl 4067 . . . . . . . . 9 |- ((1 e. RR /\ B e. RR) -> (1 + B) e. RR)
131, 12mpan 518 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> (1 + B) e. RR)
148, 13syl 12 . . . . . . 7 |- (B e. NN -> (1 + B) e. RR)
1514adantl 305 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + B) e. RR)
1615, 9jca 236 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((1 + B) e. RR /\ (A + B) e. RR))
17 nnge1t 4439 . . . . . . . 8 |- (B e. NN -> 1 <_ B)
1817adantl 305 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> 1 <_ B)
198adantl 305 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> B e. RR)
20 leadd2t 4351 . . . . . . . . . 10 |- ((1 e. RR /\ B e. RR /\ 1 e. RR) -> (1 <_ B <-> (1 + 1) <_ (1 + B)))
211, 20mp3an1 639 . . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ 1 e. RR) -> (1 <_ B <-> (1 + 1) <_ (1 + B)))
221, 21mpan2 519 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> (1 <_ B <-> (1 + 1) <_ (1 + B)))
2319, 22syl 12 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 <_ B <-> (1 + 1) <_ (1 + B)))
2418, 23mpbid 170 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + 1) <_ (1 + B))
25 nnge1t 4439 . . . . . . . 8 |- (A e. NN -> 1 <_ A)
2625adantr 306 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> 1 <_ A)
27 leadd1t 4350 . . . . . . . . 9 |- ((1 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR) -> (1 <_ A <-> (1 + B) <_ (A + B)))
281, 27mp3an1 639 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (1 <_ A <-> (1 + B) <_ (A + B)))
2928, 7, 8syl2an 349 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 <_ A <-> (1 + B) <_ (A + B)))
3026, 29mpbid 170 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + B) <_ (A + B))
3124, 30jca 236 . . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((1 + 1) <_ (1 + B) /\ (1 + B) <_ (A + B)))
3211, 16, 31sylc 62 . . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + 1) <_ (A + B))
331ltplus1 4384 . . . 4 |- 1 < (1 + 1)
3432, 33jctil 240 . . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 < (1 + 1) /\ (1 + 1) <_ (A + B)))
355, 9, 34sylc 62 . 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> 1 < (A + B))
36 nnaddclt 4436 . . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A + B) e. NN)
37 1nn 4432 . . . 4 |- 1 e. NN
38 nnsubt 4451 . . . 4 |- ((1 e. NN /\ (A + B) e. NN) -> (1 < (A + B) <-> ((A + B) - 1) e. NN))
3937, 38mpan 518 . . 3 |- ((A + B) e. NN -> (1 < (A + B) <-> ((A + B) - 1) e. NN))
4036, 39syl 12 . 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 < (A + B) <-> ((A + B) - 1) e. NN))
4135, 40mpbid 170 1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((A + B) - 1) e. NN)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   - cmin 4089   <_ cle 4092  NNcn 4093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079
This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423
metamath.org