HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nnmcan 3190
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers.
Assertion
Ref Expression
nnmcan |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))
Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 nnmordi 3188 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. om /\ C e. om /\ A e. om) -> ((B e. C /\ (/) e. A) -> (A .o B) e. (A .o C)))
213comr 618 . . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((B e. C /\ (/) e. A) -> (A .o B) e. (A .o C)))
3 nnmordi 3188 . . . . . . . . . 10 |- ((C e. om /\ B e. om /\ A e. om) -> ((C e. B /\ (/) e. A) -> (A .o C) e. (A .o B)))
433com13 615 . . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((C e. B /\ (/) e. A) -> (A .o C) e. (A .o B)))
52, 4orim12d 436 . . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (((B e. C /\ (/) e. A) \/ (C e. B /\ (/) e. A)) -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
6 andir 457 . . . . . . . 8 |- (((B e. C \/ C e. B) /\ (/) e. A) <-> ((B e. C /\ (/) e. A) \/ (C e. B /\ (/) e. A)))
75, 6syl5ib 181 . . . . . . 7 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (((B e. C \/ C e. B) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
87exp3a 292 . . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((B e. C \/ C e. B) -> ((/) e. A -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B)))))
98com23 32 . . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((/) e. A -> ((B e. C \/ C e. B) -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B)))))
109imp 277 . . . 4 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((B e. C \/ C e. B) -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
1110con3d 87 . . 3 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> (-. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B)) -> -. (B e. C \/ C e. B)))
12 ordtri3 2234 . . . . . 6 |- ((Ord (A .o B) /\ Ord (A .o C)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
13 nnmcl 3173 . . . . . . 7 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) e. om)
14 nnord 2381 . . . . . . 7 |- ((A .o B) e. om -> Ord (A .o B))
1513, 14syl 12 . . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om) -> Ord (A .o B))
16 nnmcl 3173 . . . . . . 7 |- ((A e. om /\ C e. om) -> (A .o C) e. om)
17 nnord 2381 . . . . . . 7 |- ((A .o C) e. om -> Ord (A .o C))
1816, 17syl 12 . . . . . 6 |- ((A e. om /\ C e. om) -> Ord (A .o C))
1912, 15, 18syl2an 349 . . . . 5 |- (((A e. om /\ B e. om) /\ (A e. om /\ C e. om)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
20193impdi 630 . . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
2120adantr 306 . . 3 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
22 ordtri3 2234 . . . . . 6 |- ((Ord B /\ Ord C) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
23 nnord 2381 . . . . . 6 |- (B e. om -> Ord B)
24 nnord 2381 . . . . . 6 |- (C e. om -> Ord C)
2522, 23, 24syl2an 349 . . . . 5 |- ((B e. om /\ C e. om) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
26253adant1 597 . . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
2726adantr 306 . . 3 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
2811, 21, 273imtr4d 421 . 2 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
29 opreq2 3007 . . 3 |- (B = C -> (A .o B) = (A .o C))
3029a1i 7 . 2 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> (B = C -> (A .o B) = (A .o C)))
3128, 30impbid 397 1 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  Ord word 2198  omcom 2372  (class class class)co 3001   .o comu 3102
This theorem is referenced by:  mulcanpi 3821
This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077
This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107
metamath.org