Theorem nnmcom 3183

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Proof of Theorem nnmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x .o B) = ((/) .o B))
2		opreq2 3007	. . . . 5 |- (x = (/) -> (B .o x) = (B .o (/)))
3	1, 2	cleq12d 1115	. . . 4 |- (x = (/) -> ((x .o B) = (B .o x) <-> ((/) .o B) = (B .o (/))))
4	3	imbi2d 464	. . 3 |- (x = (/) -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> ((/) .o B) = (B .o (/)))))
5		opreq1 3006	. . . . 5 |- (x = y -> (x .o B) = (y .o B))
6		opreq2 3007	. . . . 5 |- (x = y -> (B .o x) = (B .o y))
7	5, 6	cleq12d 1115	. . . 4 |- (x = y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (y .o B) = (B .o y)))
8	7	imbi2d 464	. . 3 |- (x = y -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (y .o B) = (B .o y))))
9		opreq1 3006	. . . . 5 |- (x = suc y -> (x .o B) = (suc y .o B))
10		opreq2 3007	. . . . 5 |- (x = suc y -> (B .o x) = (B .o suc y))
11	9, 10	cleq12d 1115	. . . 4 |- (x = suc y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
12	11	imbi2d 464	. . 3 |- (x = suc y -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
13		opreq1 3006	. . . . 5 |- (x = A -> (x .o B) = (A .o B))
14		opreq2 3007	. . . . 5 |- (x = A -> (B .o x) = (B .o A))
15	13, 14	cleq12d 1115	. . . 4 |- (x = A -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (A .o B) = (B .o A)))
16	15	imbi2d 464	. . 3 |- (x = A -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A))))
17		nnm0r 3171	. . . 4 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (/))
18		nnm0 3167	. . . 4 |- (B e. om -> (B .o (/)) = (/))
19	17, 18	eqtr4d 1131	. . 3 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (B .o (/)))
20		nnmsucr 3182	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (suc y .o B) = ((y .o B) +o B))
21		nnmsuc 3169	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
22	21	ancoms 334	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
23	20, 22	cleq12d 1115	. . . . . 6 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((suc y .o B) = (B .o suc y) <-> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B)))
24		opreq1 3006	. . . . . 6 |- ((y .o B) = (B .o y) -> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B))
25	23, 24	syl5bir 184	. . . . 5 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
26	25	exp 291	. . . 4 |- (y e. om -> (B e. om -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
27	26	a2d 15	. . 3 |- (y e. om -> ((B e. om -> (y .o B) = (B .o y)) -> (B e. om -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
28	4, 8, 12, 16, 19, 27	finds 2397	. 2 |- (A e. om -> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A)))
29	28	imp 277	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  suc csuc 2201  omcom 2372  (class class class)co 3001   +o coa 3101   .o comu 3102

This theorem is referenced by:  mulcompi 3818

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107

metamath.org