Theorem nnmsucr 3182

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))

Proof of Theorem nnmsucr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . 6 |- (x = (/) -> (suc A .o x) = (suc A .o (/)))
2		opreq2 3007	. . . . . . 7 |- (x = (/) -> (A .o x) = (A .o (/)))
3		id 9	. . . . . . 7 |- (x = (/) -> x = (/))
4	2, 3	opreq12d 3014	. . . . . 6 |- (x = (/) -> ((A .o x) +o x) = ((A .o (/)) +o (/)))
5	1, 4	cleq12d 1115	. . . . 5 |- (x = (/) -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/))))
6	5	imbi2d 464	. . . 4 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/)))))
7		opreq2 3007	. . . . . 6 |- (x = y -> (suc A .o x) = (suc A .o y))
8		opreq2 3007	. . . . . . 7 |- (x = y -> (A .o x) = (A .o y))
9		id 9	. . . . . . 7 |- (x = y -> x = y)
10	8, 9	opreq12d 3014	. . . . . 6 |- (x = y -> ((A .o x) +o x) = ((A .o y) +o y))
11	7, 10	cleq12d 1115	. . . . 5 |- (x = y -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o y) = ((A .o y) +o y)))
12	11	imbi2d 464	. . . 4 |- (x = y -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o y) = ((A .o y) +o y))))
13		opreq2 3007	. . . . . 6 |- (x = suc y -> (suc A .o x) = (suc A .o suc y))
14		opreq2 3007	. . . . . . 7 |- (x = suc y -> (A .o x) = (A .o suc y))
15		id 9	. . . . . . 7 |- (x = suc y -> x = suc y)
16	14, 15	opreq12d 3014	. . . . . 6 |- (x = suc y -> ((A .o x) +o x) = ((A .o suc y) +o suc y))
17	13, 16	cleq12d 1115	. . . . 5 |- (x = suc y -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y)))
18	17	imbi2d 464	. . . 4 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y))))
19		opreq2 3007	. . . . . 6 |- (x = B -> (suc A .o x) = (suc A .o B))
20		opreq2 3007	. . . . . . 7 |- (x = B -> (A .o x) = (A .o B))
21		id 9	. . . . . . 7 |- (x = B -> x = B)
22	20, 21	opreq12d 3014	. . . . . 6 |- (x = B -> ((A .o x) +o x) = ((A .o B) +o B))
23	19, 22	cleq12d 1115	. . . . 5 |- (x = B -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B)))
24	23	imbi2d 464	. . . 4 |- (x = B -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))))
25		peano2b 2388	. . . . . 6 |- (A e. om <-> suc A e. om)
26		nnm0 3167	. . . . . 6 |- (suc A e. om -> (suc A .o (/)) = (/))
27	25, 26	sylbi 174	. . . . 5 |- (A e. om -> (suc A .o (/)) = (/))
28		nnm0 3167	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (A .o (/)) = (/))
29	28	opreq1d 3012	. . . . . 6 |- (A e. om -> ((A .o (/)) +o (/)) = ((/) +o (/)))
30		peano1 2390	. . . . . . 7 |- (/) e. om
31		nna0 3166	. . . . . . 7 |- ((/) e. om -> ((/) +o (/)) = (/))
32	30, 31	ax-mp 6	. . . . . 6 |- ((/) +o (/)) = (/)
33	29, 32	syl6eq 1140	. . . . 5 |- (A e. om -> ((A .o (/)) +o (/)) = (/))
34	27, 33	eqtr4d 1131	. . . 4 |- (A e. om -> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/)))
35		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . 10 |- ((suc A e. om /\ y e. om) -> (suc A .o suc y) = ((suc A .o y) +o suc A))
36	35, 25	sylanb 344	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (suc A .o suc y) = ((suc A .o y) +o suc A))
37		nnmsuc 3169	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
38	37	opreq1d 3012	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o suc y) +o suc y) = (((A .o y) +o A) +o suc y))
39		nnacom 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o y) = (y +o A))
40		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A +o y) = (y +o A) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
41	39, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. om /\ y e. om) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
42		nnasuc 3168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = suc (A +o y))
43		nnasuc 3168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. om /\ A e. om) -> (y +o suc A) = suc (y +o A))
44	43	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (y +o suc A) = suc (y +o A))
45	41, 42, 44	3eqtr4d 1134	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = (y +o suc A))
46	45	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o y) +o (A +o suc y)) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
47		nnaass 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A .o y) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
48		peano2b 2388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. om <-> suc y e. om)
49	47, 48	syl3an3b 624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A .o y) e. om /\ A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
50		nnmcl 3173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A .o y) e. om)
51	49, 50	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
52	51	3expb 613	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (A e. om /\ y e. om)) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
53	52	anidms 332	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
54		nnaass 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A .o y) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
55	54, 25	syl3an3b 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A .o y) e. om /\ y e. om /\ A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
56	55, 50	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ y e. om /\ A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
57	56	3expb 613	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (y e. om /\ A e. om)) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
58	57	an42s 391	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (A e. om /\ y e. om)) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
59	58	anidms 332	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
60	46, 53, 59	3eqtr4d 1134	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
61	38, 60	eqtrd 1128	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o suc y) +o suc y) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
62	36, 61	cleq12d 1115	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y) <-> ((suc A .o y) +o suc A) = (((A .o y) +o y) +o suc A)))
63		opreq1 3006	. . . . . . . 8 |- ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> ((suc A .o y) +o suc A) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
64	62, 63	syl5bir 184	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y)))
65	64	ancoms 334	. . . . . 6