Theorem nnsuc 2389

Description: A non-zero natural number is a successor.

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	|- ((A e. om /\ -. A = (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 2385	. . . 4 |- (A e. om -> -. Lim A)
2	1	adantr 306	. . 3 |- ((A e. om /\ -. A = (/)) -> -. Lim A)
3		orduninsuc 2365	. . . . . 6 |- (Ord A -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
4	3	adantr 306	. . . . 5 |- ((Ord A /\ -. A = (/)) -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
5		df-lim 2204	. . . . . . . 8 |- (Lim A <-> (Ord A /\ -. A = (/) /\ A = U.A))
6	5	biimpr 134	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ -. A = (/) /\ A = U.A) -> Lim A)
7	6	3exp 611	. . . . . 6 |- (Ord A -> (-. A = (/) -> (A = U.A -> Lim A)))
8	7	imp 277	. . . . 5 |- ((Ord A /\ -. A = (/)) -> (A = U.A -> Lim A))
9	4, 8	sylbird 180	. . . 4 |- ((Ord A /\ -. A = (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
10		nnord 2381	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
11	9, 10	sylan 343	. . 3 |- ((A e. om /\ -. A = (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
12	2, 11	mt3d 101	. 2 |- ((A e. om /\ -. A = (/)) -> E.x e. On A = suc x)
13		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 |- (A = suc x -> (A e. om <-> suc x e. om))
14	13	biimpcd 137	. . . . . . . 8 |- (A e. om -> (A = suc x -> suc x e. om))
15		peano2b 2388	. . . . . . . 8 |- (x e. om <-> suc x e. om)
16	14, 15	syl6ibr 186	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (A = suc x -> x e. om))
17	16	ancrd 247	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A = suc x -> (x e. om /\ A = suc x)))
18	17	adantld 307	. . . . 5 |- (A e. om -> ((x e. On /\ A = suc x) -> (x e. om /\ A = suc x)))
19	18	19.22dv 947	. . . 4 |- (A e. om -> (E.x(x e. On /\ A = suc x) -> E.x(x e. om /\ A = suc x)))
20		df-rex 1206	. . . 4 |- (E.x e. On A = suc x <-> E.x(x e. On /\ A = suc x))
21		df-rex 1206	. . . 4 |- (E.x e. om A = suc x <-> E.x(x e. om /\ A = suc x))
22	19, 20, 21	3imtr4g 426	. . 3 |- (A e. om -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
23	22	adantr 306	. 2 |- ((A e. om /\ -. A = (/)) -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
24	12, 23	mpd 46	1 |- ((A e. om /\ -. A = (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   /\ w3a 581  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  (/)c0 1707  U.cuni 1919  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  suc csuc 2201  omcom 2372

This theorem is referenced by:  peano5 2394  nn0suc 2395  inf3lemd 3463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373

metamath.org