Theorem normgt0t 5078

Description: The norm of non-zero vector is positive.

Assertion

Ref	Expression
normgt0t	|- (A e. H~ -> (-. A = 0v <-> 0 < (norm` A)))

Proof of Theorem normgt0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrgt0t 4768	. . . . 5 |- (((A .i A) e. RR /\ 0 < (A .i A)) -> 0 < (sqr` (A .i A)))
2		hiidrclt 5053	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (A .i A) e. RR)
3	2	adantr 306	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0v) -> (A .i A) e. RR)
4		axhis42 5049	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0v) -> 0 < (A .i A))
5	1, 3, 4	sylanc 361	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ -. A = 0v) -> 0 < (sqr` (A .i A)))
6	5	exp 291	. . 3 |- (A e. H~ -> (-. A = 0v -> 0 < (sqr` (A .i A))))
7		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 |- (A = 0v -> (A .i A) = (0v .i A))
8		hizer1t 5054	. . . . . . . . 9 |- (A e. H~ -> (0v .i A) = 0)
9	7, 8	sylan9eqr 1145	. . . . . . . 8 |- ((A e. H~ /\ A = 0v) -> (A .i A) = 0)
10	9	fveq2d 2836	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ A = 0v) -> (sqr` (A .i A)) = (sqr` 0))
11		sqr0 4730	. . . . . . 7 |- (sqr` 0) = 0
12	10, 11	syl6eq 1140	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ A = 0v) -> (sqr` (A .i A)) = 0)
13	12	exp 291	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (A = 0v -> (sqr` (A .i A)) = 0))
14		sqrclt 4767	. . . . . . . . 9 |- (((A .i A) e. RR /\ 0 <_ (A .i A)) -> (sqr` (A .i A)) e. RR)
15		hiidge0t 5056	. . . . . . . . 9 |- (A e. H~ -> 0 <_ (A .i A))
16	14, 2, 15	sylanc 361	. . . . . . . 8 |- (A e. H~ -> (sqr` (A .i A)) e. RR)
17		ax0re 4063	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
18	16, 17	jctir 241	. . . . . . 7 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .i A)) e. RR /\ 0 e. RR))
19		lttri3t 4281	. . . . . . 7 |- (((sqr` (A .i A)) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((sqr` (A .i A)) = 0 <-> (-. (sqr` (A .i A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .i A)))))
20	18, 19	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .i A)) = 0 <-> (-. (sqr` (A .i A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .i A)))))
21		pm3.27 260	. . . . . 6 |- ((-. (sqr` (A .i A)) < 0 /\ -. 0 < (sqr` (A .i A))) -> -. 0 < (sqr` (A .i A)))
22	20, 21	syl6bi 187	. . . . 5 |- (A e. H~ -> ((sqr` (A .i A)) = 0 -> -. 0 < (sqr` (A .i A))))
23	13, 22	syld 27	. . . 4 |- (A e. H~ -> (A = 0v -> -. 0 < (sqr` (A .i A))))
24	23	con2d 83	. . 3 |- (A e. H~ -> (0 < (sqr` (A .i A)) -> -. A = 0v))
25	6, 24	impbid 397	. 2 |- (A e. H~ -> (-. A = 0v <-> 0 < (sqr` (A .i A))))
26		normvalt 5075	. . 3 |- (A e. H~ -> (norm` A) = (sqr` (A .i A)))
27	26	breq2d 2072	. 2 |- (A e. H~ -> (0 < (norm` A) <-> 0 < (sqr` (A .i A))))
28	25, 27	bitr4d 409	1 |- (A e. H~ -> (-. A = 0v <-> 0 < (norm` A)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   <_ cle 4092  sqrcsqr 4727  H~chil 4958  0vc0v 4961   .i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  norm-it 5080  hlimunii 5143  occllem6 5185  strlem1 5691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hnorm 5074

metamath.org