Theorem normlem2 5064

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem2.4	|- B = -u(((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))

Assertion

Ref	Expression
normlem2	|- B e. RR

Proof of Theorem normlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem2.4	. 2 |- B = -u(((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))
2		normlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- S e. CC
3	2	cjcj 4808	. . . . . . . . 9 |- (*` (*` S)) = S
4	3	cleqcomi 1105	. . . . . . . 8 |- S = (*` (*` S))
5		normlem1.3	. . . . . . . . 9 |- G e. H~
6		normlem1.2	. . . . . . . . 9 |- F e. H~
7		ax-his1 5045	. . . . . . . . 9 |- ((G e. H~ /\ F e. H~) -> (G .i F) = (*` (F .i G)))
8	5, 6, 7	mp2an 520	. . . . . . . 8 |- (G .i F) = (*` (F .i G))
9	4, 8	opreq12i 3011	. . . . . . 7 |- (S x. (G .i F)) = ((*` (*` S)) x. (*` (F .i G)))
10	2	cjcl 4804	. . . . . . . 8 |- (*` S) e. CC
11	6, 5	hicl 5044	. . . . . . . 8 |- (F .i G) e. CC
12	10, 11	cjmul 4819	. . . . . . 7 |- (*` ((*` S) x. (F .i G))) = ((*` (*` S)) x. (*` (F .i G)))
13	9, 12	eqtr4 1122	. . . . . 6 |- (S x. (G .i F)) = (*` ((*` S) x. (F .i G)))
14		ax-his1 5045	. . . . . . . . 9 |- ((F e. H~ /\ G e. H~) -> (F .i G) = (*` (G .i F)))
15	6, 5, 14	mp2an 520	. . . . . . . 8 |- (F .i G) = (*` (G .i F))
16	15	opreq2i 3010	. . . . . . 7 |- ((*` S) x. (F .i G)) = ((*` S) x. (*` (G .i F)))
17	5, 6	hicl 5044	. . . . . . . 8 |- (G .i F) e. CC
18	2, 17	cjmul 4819	. . . . . . 7 |- (*` (S x. (G .i F))) = ((*` S) x. (*` (G .i F)))
19	16, 18	eqtr4 1122	. . . . . 6 |- ((*` S) x. (F .i G)) = (*` (S x. (G .i F)))
20	13, 19	opreq12i 3011	. . . . 5 |- ((S x. (G .i F)) + ((*` S) x. (F .i G))) = ((*` ((*` S) x. (F .i G))) + (*` (S x. (G .i F))))
21	10, 11	mulcl 4105	. . . . . 6 |- ((*` S) x. (F .i G)) e. CC
22	2, 17	mulcl 4105	. . . . . 6 |- (S x. (G .i F)) e. CC
23	21, 22	addcom 4106	. . . . 5 |- (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) = ((S x. (G .i F)) + ((*` S) x. (F .i G)))
24	21, 22	cjadd 4818	. . . . 5 |- (*` (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))) = ((*` ((*` S) x. (F .i G))) + (*` (S x. (G .i F))))
25	20, 23, 24	3eqtr4r 1127	. . . 4 |- (*` (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))) = (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))
26	21, 22	addcl 4104	. . . . 5 |- (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) e. CC
27	26	cjre 4811	. . . 4 |- ((((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) e. RR <-> (*` (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))) = (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))))
28	25, 27	mpbir 165	. . 3 |- (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) e. RR
29	28	renegcl 4171	. 2 |- -u(((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) e. RR
30	1, 29	eqeltr 1159	1 |- B e. RR

Syntax hints:   = wceq 1091   e. wcel 1092  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  CCcc 4026  RRcr 4027   + caddc 4031   x. cmulc 4032  -ucneg 4090  *ccj 4788  H~chil 4958   .i csp 4963

This theorem is referenced by:  normlem3 5065  normlem6 5068  normlem7 5069  norm-ii 5086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hicl 5043  ax-his1 5045

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792

metamath.org