Theorem normlem3 5065

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem2.4	|- B = -u(((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))
normlem3.5	|- A = (G .i G)
normlem3.6	|- C = (F .i F)
normlem3.7	|- R e. RR

Assertion

Ref	Expression
normlem3	|- (((A x. (R^2)) + (B x. R)) + C) = (((F .i F) + (((*` S) x. -uR) x. (F .i G))) + (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G))))

Proof of Theorem normlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem3.6	. . 3 |- C = (F .i F)
2		normlem3.5	. . . . . . 7 |- A = (G .i G)
3		normlem1.3	. . . . . . . 8 |- G e. H~
4	3, 3	hicl 5044	. . . . . . 7 |- (G .i G) e. CC
5	2, 4	eqeltr 1159	. . . . . 6 |- A e. CC
6		normlem3.7	. . . . . . . 8 |- R e. RR
7	6	recn 4098	. . . . . . 7 |- R e. CC
8	7	sqcl 4686	. . . . . 6 |- (R^2) e. CC
9	5, 8	mulcl 4105	. . . . 5 |- (A x. (R^2)) e. CC
10		normlem1.1	. . . . . . . 8 |- S e. CC
11		normlem1.2	. . . . . . . 8 |- F e. H~
12		normlem2.4	. . . . . . . 8 |- B = -u(((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F)))
13	10, 11, 3, 12	normlem2 5064	. . . . . . 7 |- B e. RR
14	13	recn 4098	. . . . . 6 |- B e. CC
15	14, 7	mulcl 4105	. . . . 5 |- (B x. R) e. CC
16	9, 15	addcom 4106	. . . 4 |- ((A x. (R^2)) + (B x. R)) = ((B x. R) + (A x. (R^2)))
17	10	cjcl 4804	. . . . . . . . . 10 |- (*` S) e. CC
18	11, 3	hicl 5044	. . . . . . . . . 10 |- (F .i G) e. CC
19	17, 18	mulcl 4105	. . . . . . . . 9 |- ((*` S) x. (F .i G)) e. CC
20	3, 11	hicl 5044	. . . . . . . . . 10 |- (G .i F) e. CC
21	10, 20	mulcl 4105	. . . . . . . . 9 |- (S x. (G .i F)) e. CC
22	19, 21	addcl 4104	. . . . . . . 8 |- (((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) e. CC
23	22, 7	mulneg1 4190	. . . . . . 7 |- (-u(((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) x. R) = -u((((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) x. R)
24	12	opreq1i 3009	. . . . . . 7 |- (B x. R) = (-u(((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) x. R)
25	22, 7	mulneg2 4191	. . . . . . 7 |- ((((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) x. -uR) = -u((((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) x. R)
26	23, 24, 25	3eqtr4 1126	. . . . . 6 |- (B x. R) = ((((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) x. -uR)
27	7	negcl 4142	. . . . . . 7 |- -uR e. CC
28	19, 21, 27	adddir 4111	. . . . . 6 |- ((((*` S) x. (F .i G)) + (S x. (G .i F))) x. -uR) = ((((*` S) x. (F .i G)) x. -uR) + ((S x. (G .i F)) x. -uR))
29	17, 18, 27	mul23 4179	. . . . . . 7 |- (((*` S) x. (F .i G)) x. -uR) = (((*` S) x. -uR) x. (F .i G))
30	10, 20, 27	mul23 4179	. . . . . . 7 |- ((S x. (G .i F)) x. -uR) = ((S x. -uR) x. (G .i F))
31	29, 30	opreq12i 3011	. . . . . 6 |- ((((*` S) x. (F .i G)) x. -uR) + ((S x. (G .i F)) x. -uR)) = ((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + ((S x. -uR) x. (G .i F)))
32	26, 28, 31	3eqtr 1123	. . . . 5 |- (B x. R) = ((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + ((S x. -uR) x. (G .i F)))
33	8, 5	mulcom 4107	. . . . . 6 |- ((R^2) x. A) = (A x. (R^2))
34	2	opreq2i 3010	. . . . . 6 |- ((R^2) x. A) = ((R^2) x. (G .i G))
35	33, 34	eqtr3 1121	. . . . 5 |- (A x. (R^2)) = ((R^2) x. (G .i G))
36	32, 35	opreq12i 3011	. . . 4 |- ((B x. R) + (A x. (R^2))) = (((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + ((S x. -uR) x. (G .i F))) + ((R^2) x. (G .i G)))
37	17, 27	mulcl 4105	. . . . . 6 |- ((*` S) x. -uR) e. CC
38	37, 18	mulcl 4105	. . . . 5 |- (((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) e. CC
39	10, 27	mulcl 4105	. . . . . 6 |- (S x. -uR) e. CC
40	39, 20	mulcl 4105	. . . . 5 |- ((S x. -uR) x. (G .i F)) e. CC
41	8, 4	mulcl 4105	. . . . 5 |- ((R^2) x. (G .i G)) e. CC
42	38, 40, 41	addass 4108	. . . 4 |- (((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + ((S x. -uR) x. (G .i F))) + ((R^2) x. (G .i G))) = ((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G))))
43	16, 36, 42	3eqtr 1123	. . 3 |- ((A x. (R^2)) + (B x. R)) = ((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G))))
44	1, 43	opreq12i 3011	. 2 |- (C + ((A x. (R^2)) + (B x. R))) = ((F .i F) + ((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G)))))
45	9, 15	addcl 4104	. . 3 |- ((A x. (R^2)) + (B x. R)) e. CC
46	11, 11	hicl 5044	. . . 4 |- (F .i F) e. CC
47	1, 46	eqeltr 1159	. . 3 |- C e. CC
48	45, 47	addcom 4106	. 2 |- (((A x. (R^2)) + (B x. R)) + C) = (C + ((A x. (R^2)) + (B x. R)))
49	40, 41	addcl 4104	. . 3 |- (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G))) e. CC
50	46, 38, 49	addass 4108	. 2 |- (((F .i F) + (((*` S) x. -uR) x. (F .i G))) + (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G)))) = ((F .i F) + ((((*` S) x. -uR) x. (F .i G)) + (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G)))))
51	44, 48, 50	3eqtr4 1126	1 |- (((A x. (R^2)) + (B x. R)) + C) = (((F .i F) + (((*` S) x. -uR) x. (F .i G))) + (((S x. -uR) x. (G .i F)) + ((R^2) x. (G .i G))))

Syntax hints:   = wceq 1091   e. wcel 1092  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  CCcc 4026  RRcr 4027   + caddc 4031   x. cmulc 4032  -ucneg 4090  2c2 4454  ^cexp 4675  *ccj 4788  H~chil 4958   .i csp 4963

This theorem is referenced by:  normlem4 5066

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hicl 5043  ax-his1 5045

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792

metamath.org