Theorem nsmallpq 3877

Description: The is no smallest positive fraction.

Assertion

Ref	Expression
nsmallpq	|- (A e. Q. -> E.x x <Q A)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem nsmallpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpq 3876	. 2 |- (A e. Q. -> E.x(x +Q x) = A)
2		eleq1 1149	. . . . . 6 |- ((x +Q x) = A -> ((x +Q x) e. Q. <-> A e. Q.))
3		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
4		dmaddpq 3853	. . . . . . 7 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
5		0npq 3844	. . . . . . 7 |- -. (/) e. Q.
6	3, 4, 5	ndmoprrcl 3060	. . . . . 6 |- ((x +Q x) e. Q. -> (x e. Q. /\ x e. Q.))
7	2, 6	syl6bir 188	. . . . 5 |- ((x +Q x) = A -> (A e. Q. -> (x e. Q. /\ x e. Q.)))
8	7	com12 13	. . . 4 |- (A e. Q. -> ((x +Q x) = A -> (x e. Q. /\ x e. Q.)))
9		breq2 2066	. . . . 5 |- ((x +Q x) = A -> (x <Q (x +Q x) <-> x <Q A))
10	3, 3	ltaddpq 3873	. . . . 5 |- ((x e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q (x +Q x))
11	9, 10	syl5bi 183	. . . 4 |- ((x +Q x) = A -> ((x e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q A))
12	8, 11	sylcom 51	. . 3 |- (A e. Q. -> ((x +Q x) = A -> x <Q A))
13	12	19.22dv 947	. 2 |- (A e. Q. -> (E.x(x +Q x) = A -> E.x x <Q A))
14	1, 13	mpd 46	1 |- (A e. Q. -> E.x x <Q A)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Q.cnq 3773   +Q cplq 3775   <Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  reclem1pr 3950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837

metamath.org