Theorem nthruz 4785

Description: The sequence NN, NN0, and ZZ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to NN0 but not NN and minus one belongs to ZZ but not NN0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 4784.

Assertion

Ref	Expression
nthruz	|- (NN (. NN0 /\ NN0 (. ZZ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 4537	. . 3 |- NN (_ NN0
2		0nn0 4546	. . . 4 |- 0 e. NN0
3		0nnn 4443	. . . 4 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 234	. . 3 |- (0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN)
5		ssnelpss 1751	. . 3 |- (NN (_ NN0 -> ((0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN) -> NN (. NN0))
6	1, 4, 5	mp2 43	. 2 |- NN (. NN0
7		nn0ssz 4578	. . 3 |- NN0 (_ ZZ
8		1nn 4432	. . . . 5 |- 1 e. NN
9		nnnegz 4566	. . . . 5 |- (1 e. NN -> -u1 e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 6	. . . 4 |- -u1 e. ZZ
11		ax1re 4064	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	11	renegcl 4171	. . . . 5 |- -u1 e. RR
13		neg0 4170	. . . . . . 7 |- -u0 = 0
14		lt01 4377	. . . . . . 7 |- 0 < 1
15	13, 14	eqbrtr 2076	. . . . . 6 |- -u0 < 1
16		ax0re 4063	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
17	11, 16	ltnegcon1 4332	. . . . . 6 |- (-u1 < 0 <-> -u0 < 1)
18	15, 17	mpbir 165	. . . . 5 |- -u1 < 0
19		lt0nnn0 4549	. . . . 5 |- ((-u1 e. RR /\ -u1 < 0) -> -. -u1 e. NN0)
20	12, 18, 19	mp2an 520	. . . 4 |- -. -u1 e. NN0
21	10, 20	pm3.2i 234	. . 3 |- (-u1 e. ZZ /\ -. -u1 e. NN0)
22		ssnelpss 1751	. . 3 |- (NN0 (_ ZZ -> ((-u1 e. ZZ /\ -. -u1 e. NN0) -> NN0 (. ZZ))
23	7, 21, 22	mp2 43	. 2 |- NN0 (. ZZ
24	6, 23	pm3.2i 234	1 |- (NN (. NN0 /\ NN0 (. ZZ)

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   e. wcel 1092   (_ wss 1487   (. wpss 1488   class class class wbr 2054  RRcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   < clt 4033  -ucneg 4090  NNcn 4093  NN0cn0 4094  ZZcz 4095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org