Theorem numth2 3600

Description: Numeration theorem: any set is equinumerous to some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84.

Assertion

Ref	Expression
numth2	|- E.x e. On x ~~ A

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem numth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2066	. . . 4 |- (y = A -> (x ~~ y <-> x ~~ A))
2	1	birexdv 1220	. . 3 |- (y = A -> (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On x ~~ A))
3		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
4	3	numth 3599	. . . 4 |- E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y
5	3	bren 3282	. . . . 5 |- (x ~~ y <-> E.z z:x-1-1-onto->y)
6	5	birex 1224	. . . 4 |- (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y)
7	4, 6	mpbir 165	. . 3 |- E.x e. On x ~~ y
8	2, 7	vtoclg 1383	. 2 |- (A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
9		0elon 2277	. . . . 5 |- (/) e. On
10		enrefg 3294	. . . . 5 |- ((/) e. On -> (/) ~~ (/))
11	9, 10	ax-mp 6	. . . 4 |- (/) ~~ (/)
12		brprc 2097	. . . 4 |- (-. A e. V -> ((/) ~~ A <-> (/) ~~ (/)))
13	11, 12	mpbiri 169	. . 3 |- (-. A e. V -> (/) ~~ A)
14		breq1 2065	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x ~~ A <-> (/) ~~ A))
15	14	rcla4ev 1403	. . . 4 |- (((/) e. On /\ (/) ~~ A) -> E.x e. On x ~~ A)
16	9, 15	mpan 518	. . 3 |- ((/) ~~ A -> E.x e. On x ~~ A)
17	13, 16	syl 12	. 2 |- (-. A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
18	8, 17	pm2.61i 110	1 |- E.x e. On x ~~ A

Syntax hints:  -. wn 1  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  Vcvv 1348  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  -1-1-onto->wf1o 2421   ~~ cen 3271

This theorem is referenced by:  numthcor 3601  cardval 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-en 3274

metamath.org