Theorem numthcor 3601

Description: Any set is strictly dominated by some ordinal.

Assertion

Ref	Expression
numthcor	|- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem numthcor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . 3 |- (y = A -> (y ~< x <-> A ~< x))
2	1	birexdv 1220	. 2 |- (y = A -> (E.x e. On y ~< x <-> E.x e. On A ~< x))
3		numth2 3600	. . 3 |- E.x e. On x ~~ P~y
4		visset 1350	. . . . . . 7 |- y e. V
5	4	pwex 1806	. . . . . 6 |- P~y e. V
6	5	ensym 3317	. . . . 5 |- (x ~~ P~y -> P~y ~~ x)
7	4	canth2 3381	. . . . . 6 |- y ~< P~y
8		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
9		sdomentr 3371	. . . . . . 7 |- (x e. V -> ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x))
10	8, 9	ax-mp 6	. . . . . 6 |- ((y ~< P~y /\ P~y ~~ x) -> y ~< x)
11	7, 10	mpan 518	. . . . 5 |- (P~y ~~ x -> y ~< x)
12	6, 11	syl 12	. . . 4 |- (x ~~ P~y -> y ~< x)
13	12	r19.22si 1275	. . 3 |- (E.x e. On x ~~ P~y -> E.x e. On y ~< x)
14	3, 13	ax-mp 6	. 2 |- E.x e. On y ~< x
15	2, 14	vtoclg 1383	1 |- (A e. B -> E.x e. On A ~< x)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  Vcvv 1348  P~cpw 1798   class class class wbr 2054  Oncon0 2199   ~~ cen 3271   ~< csdm 3273

This theorem is referenced by:  cardmin 3666  alephsuc 3672  alephordlem1 3677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org