Theorem oa0 3124

Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57.

Assertion

Ref	Expression
oa0	|- (A e. On -> (A +o (/)) = A)

Proof of Theorem oa0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 2277	. . 3 |- (/) e. On
2		oav 3119	. . 3 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A +o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` (/)))
3	1, 2	mpan2 519	. 2 |- (A e. On -> (A +o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` (/)))
4		rdgzert 2982	. 2 |- (A e. On -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` (/)) = A)
5	3, 4	eqtrd 1128	1 |- (A e. On -> (A +o (/)) = A)

Syntax hints:   -> wi 2   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  {copab 2055  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ` cfv 2422  reccrdg 2969  (class class class)co 3001   +o coa 3101

This theorem is referenced by:  oa1suc 3132  oacl 3138  oa0r 3141  om0r 3142  oawordri 3152  oaord1 3153  oaword1 3154  oawordeulem 3156  oa00 3161  oaass 3163  nna0 3166  nnmordi 3188

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106

metamath.org