Theorem oalimcl 3162

Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
oalimcl	|- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> Lim (A +o B))

Proof of Theorem oalimcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oacl 3138	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) e. On)
2		eloni 2209	. . . . 5 |- ((A +o B) e. On -> Ord (A +o B))
3	1, 2	syl 12	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> Ord (A +o B))
4		limelon 2286	. . . 4 |- ((B e. C /\ Lim B) -> B e. On)
5	3, 4	sylan2 346	. . 3 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> Ord (A +o B))
6		0ellim 2285	. . . . . . . 8 |- (Lim B -> (/) e. B)
7		n0i 1712	. . . . . . . 8 |- ((/) e. B -> -. B = (/))
8	6, 7	syl 12	. . . . . . 7 |- (Lim B -> -. B = (/))
9	8	ad2antrr 323	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> -. B = (/))
10		oa00 3161	. . . . . . . . 9 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) = (/) <-> (A = (/) /\ B = (/))))
11		pm3.27 260	. . . . . . . . 9 |- ((A = (/) /\ B = (/)) -> B = (/))
12	10, 11	syl6bi 187	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) = (/) -> B = (/)))
13	12	con3d 87	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. B = (/) -> -. (A +o B) = (/)))
14	13, 4	sylan2 346	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (-. B = (/) -> -. (A +o B) = (/)))
15	9, 14	mpd 46	. . . . 5 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> -. (A +o B) = (/))
16		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
17	16	sucid 2304	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. suc y
18		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A +o B) = suc y -> ((A +o B) = U.x e. B (A +o x) <-> suc y = U.x e. B (A +o x)))
19		oalim 3135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (A +o B) = U.x e. B (A +o x))
20	18, 19	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A +o B) = suc y -> ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> suc y = U.x e. B (A +o x)))
21	20	imp 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ (B e. C /\ Lim B))) -> suc y = U.x e. B (A +o x))
22	21	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ (B e. C /\ Lim B))) -> (y e. suc y <-> y e. U.x e. B (A +o x)))
23	17, 22	mpbii 168	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ (B e. C /\ Lim B))) -> y e. U.x e. B (A +o x))
24		eliun 1998	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. U.x e. B (A +o x) <-> E.x e. B y e. (A +o x))
25	23, 24	sylib 173	. . . . . . . . . . 11 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ (B e. C /\ Lim B))) -> E.x e. B y e. (A +o x))
26		onelon 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. On /\ x e. B) -> x e. On)
27	26, 4	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> x e. On)
28		onnbtwn 2317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x e. On -> -. (x e. B /\ B e. suc x))
29		imnan 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. B -> -. B e. suc x) <-> -. (x e. B /\ B e. suc x))
30	28, 29	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. On -> (x e. B -> -. B e. suc x))
31	30	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. B -> (x e. On -> -. B e. suc x))
32	31	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> (x e. On -> -. B e. suc x))
33	27, 32	mpd 46	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> -. B e. suc x)
34	33	ad2antrl 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. On /\ (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) /\ y e. (A +o x))) -> -. B e. suc x)
35		oacl 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (A +o x) e. On)
36		eloni 2209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((A +o x) e. On -> Ord (A +o x))
37		ordsucelsuc 2324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (Ord (A +o x) -> (y e. (A +o x) <-> suc y e. suc (A +o x)))
38	35, 36, 37	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (y e. (A +o x) <-> suc y e. suc (A +o x)))
39		oasuc 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (A +o suc x) = suc (A +o x))
40	39	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (suc y e. (A +o suc x) <-> suc y e. suc (A +o x)))
41	38, 40	bitr4d 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. On /\ x e. On) -> (y e. (A +o x) <-> suc y e. (A +o suc x)))
42	41, 27	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. On /\ ((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B)) -> (y e. (A +o x) <-> suc y e. (A +o suc x)))
43		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A +o B) = suc y -> ((A +o B) e. (A +o suc x) <-> suc y e. (A +o suc x)))
44	43	bicomd 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A +o B) = suc y -> (suc y e. (A +o suc x) <-> (A +o B) e. (A +o suc x)))
45	42, 44	sylan9bbr 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ ((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B))) -> (y e. (A +o x) <-> (A +o B) e. (A +o suc x)))
46		oaord 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On) -> (B e. suc x <-> (A +o B) e. (A +o suc x)))
47	46	3expa 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((B e. On /\ suc x e. On) /\ A e. On) -> (B e. suc x <-> (A +o B) e. (A +o suc x)))
48	4	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> B e. On)
49		sucelon 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x e. On <-> suc x e. On)
50	27, 49	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> suc x e. On)
51	48, 50	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> (B e. On /\ suc x e. On))
52	47, 51	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) /\ A e. On) -> (B e. suc x <-> (A +o B) e. (A +o suc x)))
53	52	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. On /\ ((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B)) -> (B e. suc x <-> (A +o B) e. (A +o suc x)))
54	53	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ ((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B))) -> (B e. suc x <-> (A +o B) e. (A +o suc x)))
55	45, 54	bitr4d 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ ((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B))) -> (y e. (A +o x) <-> B e. suc x))
56	55	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ ((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B))) -> (y e. (A +o x) -> B e. suc x))
57	56	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A +o B) = suc y -> (A e. On -> (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> (y e. (A +o x) -> B e. suc x))))
58	57	com4l 39	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. On -> (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) -> (y e. (A +o x) -> ((A +o B) = suc y -> B e. suc x))))
59	58	imp32 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. On /\ (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) /\ y e. (A +o x))) -> ((A +o B) = suc y -> B e. suc x))
60	34, 59	mtod 95	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. On /\ (((B e. C /\ Lim B) /\ x e. B) /\ y e. (A +o x))) -> -. (A +o B) = suc y)
61	60	exp44 302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. On -> ((B e. C /\ Lim B) -> (x e. B -> (y e. (A +o x) -> -. (A +o B) = suc y))))
62	61	imp 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (x e. B -> (y e. (A +o x) -> -. (A +o B) = suc y)))
63	62	r19.23adv 1286	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. On /\ (B e. C /\ Lim B)) -> (E.x e. B y e. (A +o x) -> -. (A +o B) = suc y))
64	63	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ (B e. C /\ Lim B))) -> (E.x e. B y e. (A +o x) -> -. (A +o B) = suc y))
65	25, 64	mpd 46	. . . . . . . . . 10 |- (((A +o B) = suc y /\ (A e. On /\ (B e. C /\ Lim B))) -> -. (A +o B) = suc y)
66	65	ancoms 334	. . . . . . . . 9 |- (