Theorem occllem2 5181

Description: Lemma for closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypothesis

Ref	Expression
occllem2.1	|- S e. H~

Assertion

Ref	Expression
occllem2	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (abs` ((B .i S) - (A .i S))) <_ ((norm` (B -v A)) x. (norm` S)))

Proof of Theorem occllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0v) -> (A .i S) = (if(A e. H~, A, 0v) .i S))
2	1	opreq2d 3013	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0v) -> ((B .i S) - (A .i S)) = ((B .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S)))
3	2	fveq2d 2836	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0v) -> (abs` ((B .i S) - (A .i S))) = (abs` ((B .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S))))
4		opreq2 3007	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0v) -> (B -v A) = (B -v if(A e. H~, A, 0v)))
5	4	fveq2d 2836	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0v) -> (norm` (B -v A)) = (norm` (B -v if(A e. H~, A, 0v))))
6	5	opreq1d 3012	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0v) -> ((norm` (B -v A)) x. (norm` S)) = ((norm` (B -v if(A e. H~, A, 0v))) x. (norm` S)))
7	3, 6	breq12d 2073	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0v) -> ((abs` ((B .i S) - (A .i S))) <_ ((norm` (B -v A)) x. (norm` S)) <-> (abs` ((B .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S))) <_ ((norm` (B -v if(A e. H~, A, 0v))) x. (norm` S))))
8		opreq1 3006	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0v) -> (B .i S) = (if(B e. H~, B, 0v) .i S))
9	8	opreq1d 3012	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0v) -> ((B .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S)) = ((if(B e. H~, B, 0v) .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S)))
10	9	fveq2d 2836	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0v) -> (abs` ((B .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S))) = (abs` ((if(B e. H~, B, 0v) .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S))))
11		opreq1 3006	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0v) -> (B -v if(A e. H~, A, 0v)) = (if(B e. H~, B, 0v) -v if(A e. H~, A, 0v)))
12	11	fveq2d 2836	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0v) -> (norm` (B -v if(A e. H~, A, 0v))) = (norm` (if(B e. H~, B, 0v) -v if(A e. H~, A, 0v))))
13	12	opreq1d 3012	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0v) -> ((norm` (B -v if(A e. H~, A, 0v))) x. (norm` S)) = ((norm` (if(B e. H~, B, 0v) -v if(A e. H~, A, 0v))) x. (norm` S)))
14	10, 13	breq12d 2073	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0v) -> ((abs` ((B .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S))) <_ ((norm` (B -v if(A e. H~, A, 0v))) x. (norm` S)) <-> (abs` ((if(B e. H~, B, 0v) .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S))) <_ ((norm` (if(B e. H~, B, 0v) -v if(A e. H~, A, 0v))) x. (norm` S))))
15		ax-hvzercl 4987	. . . 4 |- 0v e. H~
16	15	elimel 1793	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0v) e. H~
17	15	elimel 1793	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0v) e. H~
18		occllem2.1	. . 3 |- S e. H~
19	16, 17, 18	occllem1 5180	. 2 |- (abs` ((if(B e. H~, B, 0v) .i S) - (if(A e. H~, A, 0v) .i S))) <_ ((norm` (if(B e. H~, B, 0v) -v if(A e. H~, A, 0v))) x. (norm` S))
20	7, 14, 19	dedth2h 1787	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (abs` ((B .i S) - (A .i S))) <_ ((norm` (B -v A)) x. (norm` S)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  ifcif 1776   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001   x. cmulc 4032   - cmin 4089   <_ cle 4092  abscabs 4789  H~chil 4958  0vc0v 4961   -v cmv 4962   .i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  occllem6 5185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

metamath.org