Theorem oesuc 3134

Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oesuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Proof of Theorem oesuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . 4 |- (A = (/) -> (A ^o suc B) = ((/) ^o suc B))
2		eloni 2209	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
3		0elsuc 2340	. . . . . 6 |- (Ord B -> (/) e. suc B)
4	2, 3	syl 12	. . . . 5 |- (B e. On -> (/) e. suc B)
5		oe0m1 3129	. . . . . 6 |- ((suc B e. On /\ (/) e. suc B) -> ((/) ^o suc B) = (/))
6		suceloni 2314	. . . . . 6 |- (B e. On -> suc B e. On)
7	5, 6	sylan 343	. . . . 5 |- ((B e. On /\ (/) e. suc B) -> ((/) ^o suc B) = (/))
8	4, 7	mpdan 527	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) ^o suc B) = (/))
9	1, 8	sylan9eqr 1145	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = (/))
10		opreq1 3006	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A ^o B) = ((/) ^o B))
11		id 9	. . . . 5 |- (A = (/) -> A = (/))
12	10, 11	opreq12d 3014	. . . 4 |- (A = (/) -> ((A ^o B) .o A) = (((/) ^o B) .o (/)))
13		oe0m0 3128	. . . . . . . . . 10 |- ((/) ^o (/)) = 1o
14		1o 3109	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
15	13, 14	eqeltr 1159	. . . . . . . . 9 |- ((/) ^o (/)) e. On
16		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) = ((/) ^o (/)))
17	16	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 |- (B = (/) -> (((/) ^o B) e. On <-> ((/) ^o (/)) e. On))
18	15, 17	mpbiri 169	. . . . . . . 8 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) e. On)
19	18	adantl 305	. . . . . . 7 |- ((B e. On /\ B = (/)) -> ((/) ^o B) e. On)
20		0elon 2277	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
21		oe0m1 3129	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) = (/))
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> (((/) ^o B) e. On <-> (/) e. On))
23	20, 22	mpbiri 169	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
24	23	adantll 309	. . . . . . 7 |- (((B e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
25	19, 24	oe0lem 3121	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ B e. On) -> ((/) ^o B) e. On)
26	25	anidms 332	. . . . 5 |- (B e. On -> ((/) ^o B) e. On)
27		om0 3125	. . . . 5 |- (((/) ^o B) e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
28	26, 27	syl 12	. . . 4 |- (B e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
29	12, 28	sylan9eqr 1145	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> ((A ^o B) .o A) = (/))
30	9, 29	eqtr4d 1131	. 2 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
31		rdgsuct 2983	. . . 4 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
32	31	ad2antlr 321	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
33		oevn0 3123	. . . 4 |- (((A e. On /\ suc B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
34	33, 6	sylan12 355	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
35		oevn0 3123	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
36	35	fveq2d 2836	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
37		oprex 3018	. . . . 5 |- (A ^o B) e. V
38		oprex 3018	. . . . 5 |- ((A ^o B) .o A) e. V
39		opreq1 3006	. . . . 5 |- (x = (A ^o B) -> (x .o A) = ((A ^o B) .o A))
40	37, 38, 39	fvopab 2877	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ((A ^o B) .o A)
41	36, 40	syl5eqr 1138	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ((A ^o B) .o A) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
42	32, 34, 41	3eqtr4d 1134	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
43	30, 42	oe0lem 3121	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  {copab 2055  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ` cfv 2422  reccrdg 2969  (class class class)co 3001  1oc1o 3099   .o comu 3102   ^o coe 3103

This theorem is referenced by:  oecl 3140  oe1 3146  oe1m 3147  oen0 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-omul 3107  df-oexp 3108

metamath.org