Theorem oevn0 3123

Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero mantissa.

Assertion

Ref	Expression
oevn0	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem oevn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 2279	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
2	1	adantr 306	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
3		oev 3122	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o B) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
4		iffalse 1781	. . . . 5 |- (-. A = (/) -> if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
5	3, 4	sylan9eq 1144	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ -. A = (/)) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
6	5	exp 291	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. A = (/) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
7	2, 6	sylbid 178	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
8	7	imp 277	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   \ cdif 1484  (/)c0 1707  ifcif 1776  {copab 2055  Oncon0 2199  ` cfv 2422  reccrdg 2969  (class class class)co 3001  1oc1o 3099   .o comu 3102   ^o coe 3103

This theorem is referenced by:  oe0 3130  oesuc 3134  oelim 3137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oexp 3108

metamath.org