Theorem omon 2384

Description: The class of natural numbers om is either an ordinal number (if we accept the Axiom of Infinity) or the proper class of all ordinals (if we deny the Axiom of Infinity). Remark of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
omon	|- (om e. On \/ om = On)

Proof of Theorem omon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 2382	. 2 |- Ord om
2		ordeleqon 2241	. 2 |- (Ord om <-> (om e. On \/ om = On))
3	1, 2	mpbi 164	1 |- (om e. On \/ om = On)

Syntax hints:   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092  Ord word 2198  Oncon0 2199  omcom 2372

This theorem is referenced by:  omelon 3476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-om 2373

metamath.org