Theorem omsmolem 3195

Description: Lemma for omsmo 3196.

Assertion

Ref	Expression
omsmolem	|- (y e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,F,y,z

Proof of Theorem omsmolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1150	. . 3 |- (y = (/) -> (z e. y <-> z e. (/)))
2		fveq2 2832	. . . 4 |- (y = (/) -> (F` y) = (F` (/)))
3	2	eleq2d 1156	. . 3 |- (y = (/) -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` (/))))
4	1, 3	imbi12d 474	. 2 |- (y = (/) -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/)))))
5		eleq2 1150	. . 3 |- (y = w -> (z e. y <-> z e. w))
6		fveq2 2832	. . . 4 |- (y = w -> (F` y) = (F` w))
7	6	eleq2d 1156	. . 3 |- (y = w -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` w)))
8	5, 7	imbi12d 474	. 2 |- (y = w -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. w -> (F` z) e. (F` w))))
9		eleq2 1150	. . 3 |- (y = suc w -> (z e. y <-> z e. suc w))
10		fveq2 2832	. . . 4 |- (y = suc w -> (F` y) = (F` suc w))
11	10	eleq2d 1156	. . 3 |- (y = suc w -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` suc w)))
12	9, 11	imbi12d 474	. 2 |- (y = suc w -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w))))
13		noel 1711	. . . 4 |- -. z e. (/)
14	13	pm2.21i 73	. . 3 |- (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/)))
15	14	a1i 7	. 2 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/))))
16		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = w -> (F` x) = (F` w))
17		suceq 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = w -> suc x = suc w)
18	17	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = w -> (F` suc x) = (F` suc w))
19	16, 18	eleq12d 1157	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = w -> ((F` x) e. (F` suc x) <-> (F` w) e. (F` suc w)))
20	19	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) -> (w e. om -> (F` w) e. (F` suc w)))
21	20	imp 277	. . . . . . . . . 10 |- ((A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) /\ w e. om) -> (F` w) e. (F` suc w))
22	21	adantll 309	. . . . . . . . 9 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> (F` w) e. (F` suc w))
23		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ On -> ((F` suc w) e. A -> (F` suc w) e. On))
24		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:om-->A /\ suc w e. om) -> (F` suc w) e. A)
25		peano2b 2388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. om <-> suc w e. om)
26	24, 25	sylan2b 347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:om-->A /\ w e. om) -> (F` suc w) e. A)
27	23, 26	syl5 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A (_ On -> ((F:om-->A /\ w e. om) -> (F` suc w) e. On))
28		ontr1 2258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` suc w) e. On -> (((F` z) e. (F` w) /\ (F` w) e. (F` suc w)) -> (F` z) e. (F` suc w)))
29	28	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` suc w) e. On -> ((F` z) e. (F` w) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
30	29	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` suc w) e. On -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
31	27, 30	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 |- (A (_ On -> ((F:om-->A /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w)))))
32	31	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ On -> (F:om-->A -> (w e. om -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))))
33	32	imp31 280	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
34	33	adantlr 310	. . . . . . . . 9 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
35	22, 34	mpd 46	. . . . . . . 8 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w)))
36	35	syl3d 26	. . . . . . 7 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. w -> (F` z) e. (F` suc w))))
37	36	imp 277	. . . . . 6 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z e. w -> (F` z) e. (F` suc w)))
38		fveq2 2832	. . . . . . . . . . 11 |- (z = w -> (F` z) = (F` w))
39	38	eleq1d 1155	. . . . . . . . . 10 |- (z = w -> ((F` z) e. (F` suc w) <-> (F` w) e. (F` suc w)))
40	39, 21	syl5bir 184	. . . . . . . . 9 |- (z = w -> ((A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) /\ w e. om) -> (F` z) e. (F` suc w)))
41	40	com12 13	. . . . . . . 8 |- ((A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) /\ w e. om) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
42	41	adantll 309	. . . . . . 7 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
43	42	adantr 306	. . . . . 6 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
44	37, 43	jaod 329	. . . . 5 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> ((z e. w \/ z = w) -> (F` z) e. (F` suc w)))
45		visset 1350	. . . . . 6 |- z e. V
46	45	elsuc 2292	. . . . 5 |- (z e. suc w <-> (z e. w \/ z = w))
47	44, 46	syl5ib 181	. . . 4 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))
48	47	exp31 293	. . 3 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (w e. om -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))))
49	48	com12 13	. 2 |- (w e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))))
50	4, 8, 12, 15, 49	finds2 2399	1 |- (y e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x)