Theorem omssnlim 2386

Description: The class of natural numbers is a subclass of the class of non-limit ordinal numbers. Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
omssnlim	|- om (_ {x e. On | -. Lim x}

Proof of Theorem omssnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnont 2379	. . . 4 |- (y e. om -> y e. On)
2		nnlim 2385	. . . 4 |- (y e. om -> -. Lim y)
3	1, 2	jca 236	. . 3 |- (y e. om -> (y e. On /\ -. Lim y))
4		limeq 2211	. . . . 5 |- (x = y -> (Lim x <-> Lim y))
5	4	negbid 463	. . . 4 |- (x = y -> (-. Lim x <-> -. Lim y))
6	5	elrab 1422	. . 3 |- (y e. {x e. On | -. Lim x} <-> (y e. On /\ -. Lim y))
7	3, 6	sylibr 175	. 2 |- (y e. om -> y e. {x e. On | -. Lim x})
8	7	ssriv 1508	1 |- om (_ {x e. On | -. Lim x}

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   = weq 797   e. wcel 1092  {crab 1204   (_ wss 1487  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  omcom 2372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-om 2373

metamath.org