Theorem omv 3120

Description: Value of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omv	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem omv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 2838	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B) e. V
2		opreq2 3007	. . . . 5 |- (w = A -> (x +o w) = (x +o A))
3	2	cleq2d 1112	. . . 4 |- (w = A -> (y = (x +o w) <-> y = (x +o A)))
4	3	biopabdv 2102	. . 3 |- (w = A -> {<.x, y>. | y = (x +o w)} = {<.x, y>. | y = (x +o A)})
5		rdgeq1 2972	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = (x +o w)} = {<.x, y>. | y = (x +o A)} -> rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/)) = rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/)))
6		fveq1 2831	. . 3 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/)) = rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/)) -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v))
7	4, 5, 6	3syl 21	. 2 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v))
8		fveq2 2832	. 2 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))
9		df-omul 3107	. 2 |- .o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v))}
10	1, 7, 8, 9	oprabval2 3051	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  {copab 2055  Oncon0 2199  ` cfv 2422  reccrdg 2969  (class class class)co 3001   +o coa 3101   .o comu 3102

This theorem is referenced by:  om0 3125  om0x 3126  omsuc 3133  omlim 3136

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-omul 3107

metamath.org