Theorem onelon 2223

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469.

Assertion

Ref	Expression
onelon	|- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 2222	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		eloni 2209	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3	1, 2	sylan 343	1 |- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  onminex 2275  onpwsuc 2315  unon 2338  onel 2346  limsuc 2361  dfom2 2374  tfindsg2 2403  tfrlem8 2956  tz7.48-2 2995  tz7.49 2997  oalim 3135  omlim 3136  oelim 3137  oaordi 3148  oalimcl 3162  oaass 3163  omordi 3164  r1ord 3499  r1val1 3502  r1val3 3523  r1pwcl 3530  zornlem5 3607  zornlem6 3608  iscard 3659  ondomon 3662  cardmin 3666  alephordi 3679  alephord2i 3682  alephle 3689  cardaleph 3690  cfub 3703

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org