Theorem onfin 3415

Description: An ordinal number is finite iff it is a natural number. Proposition 10.32 of [TakeutiZaring] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
onfin	|- (A e. On -> (E.x e. om A ~~ x <-> A e. om))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem onfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onomeneq 3414	. . . . 5 |- ((A e. On /\ x e. om) -> (A ~~ x <-> A = x))
2		eleq1a 1158	. . . . . 6 |- (x e. om -> (A = x -> A e. om))
3	2	adantl 305	. . . . 5 |- ((A e. On /\ x e. om) -> (A = x -> A e. om))
4	1, 3	sylbid 178	. . . 4 |- ((A e. On /\ x e. om) -> (A ~~ x -> A e. om))
5	4	exp 291	. . 3 |- (A e. On -> (x e. om -> (A ~~ x -> A e. om)))
6	5	r19.23adv 1286	. 2 |- (A e. On -> (E.x e. om A ~~ x -> A e. om))
7		enrefg 3294	. . . 4 |- (A e. om -> A ~~ A)
8		breq2 2066	. . . . 5 |- (x = A -> (A ~~ x <-> A ~~ A))
9	8	rcla4ev 1403	. . . 4 |- ((A e. om /\ A ~~ A) -> E.x e. om A ~~ x)
10	7, 9	mpdan 527	. . 3 |- (A e. om -> E.x e. om A ~~ x)
11	10	a1i 7	. 2 |- (A e. On -> (A e. om -> E.x e. om A ~~ x))
12	6, 11	impbid 397	1 |- (A e. On -> (E.x e. om A ~~ x <-> A e. om))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  omcom 2372   ~~ cen 3271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org