Theorem onintrab 2268

Description: The intersection of a non-empty class abstraction of ordinals exists iff it is an ordinal number.

Assertion

Ref	Expression
onintrab	|- (|^|{x e. On | ph} e. V <-> |^|{x e. On | ph} e. On)

Proof of Theorem onintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intex 1986	. . 3 |- (-. {x e. On | ph} = (/) <-> |^|{x e. On | ph} e. V)
2		ssrab 1556	. . . 4 |- {x e. On | ph} (_ On
3		oninton 2267	. . . 4 |- (({x e. On | ph} (_ On /\ -. {x e. On | ph} = (/)) -> |^|{x e. On | ph} e. On)
4	2, 3	mpan 518	. . 3 |- (-. {x e. On | ph} = (/) -> |^|{x e. On | ph} e. On)
5	1, 4	sylbir 176	. 2 |- (|^|{x e. On | ph} e. V -> |^|{x e. On | ph} e. On)
6		elisset 1354	. 2 |- (|^|{x e. On | ph} e. On -> |^|{x e. On | ph} e. V)
7	5, 6	impbi 139	1 |- (|^|{x e. On | ph} e. V <-> |^|{x e. On | ph} e. On)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092  {crab 1204  Vcvv 1348   (_ wss 1487  (/)c0 1707  |^|cint 1965  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  onintrab2 2269  alephon 3671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org