Theorem onssmin 2263

Description: A non-empty class of ordinal numbers has a smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
onssmin	|- ((A (_ On /\ -. A = (/)) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 2261	. . 3 |- ((A (_ On /\ -. A = (/)) -> |^|A e. A)
2		intss1 1979	. . . 4 |- (y e. A -> |^|A (_ y)
3	2	rgen 1247	. . 3 |- A.y e. A |^|A (_ y
4	1, 3	jctir 241	. 2 |- ((A (_ On /\ -. A = (/)) -> (|^|A e. A /\ A.y e. A |^|A (_ y))
5		sseq1 1521	. . . 4 |- (x = |^|A -> (x (_ y <-> |^|A (_ y))
6	5	biraldv 1219	. . 3 |- (x = |^|A -> (A.y e. A x (_ y <-> A.y e. A |^|A (_ y))
7	6	rcla4ev 1403	. 2 |- ((|^|A e. A /\ A.y e. A |^|A (_ y) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)
8	4, 7	syl 12	1 |- ((A (_ On /\ -. A = (/)) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   (_ wss 1487  (/)c0 1707  |^|cint 1965  Oncon0 2199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org